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* [[군론(group theory)|군론]]을 통한 [[체론(field theory)]]의 이해 | * [[군론(group theory)|군론]]을 통한 [[체론(field theory)]]의 이해 | ||
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br> | * [[2차 방정식의 근의 공식]]<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">풀수 있는 방정식 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">풀수 있는 방정식== |
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* (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음<br> | * (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음<br> | ||
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* 체 <math>F</math>와 그 체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>을 정의할 수 있음<br> | * 체 <math>F</math>와 그 체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>을 정의할 수 있음<br> | ||
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* <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}</math>의 경우 <math>\sigma</math>는 복소수체의 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 변화시키지 않음.<br> | * <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}</math>의 경우 <math>\sigma</math>는 복소수체의 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 변화시키지 않음.<br> | ||
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* 위에서 본 유리수체<math>\mathbb{Q}</math>의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math><br> | * 위에서 본 유리수체<math>\mathbb{Q}</math>의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">갈루아 체확장 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">갈루아 체확장== |
* transitivity와 fixed point free action 또는 <math>\text{Gal}(K/F)=|K:F|</math> | * transitivity와 fixed point free action 또는 <math>\text{Gal}(K/F)=|K:F|</math> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">5차방정식에의 응용 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">5차방정식에의 응용== |
<math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math> is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals. | <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math> is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals. | ||
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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| − | ==메모 | + | ==메모== |
* http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html | * http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html | ||
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| − | ==관련된 항목들 | + | ==관련된 항목들== |
* [[군론(group theory)|군론]]<br> | * [[군론(group theory)|군론]]<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* [http://www.mathpages.com/HOME/kmath485.htm Determining the Galois Group of a Polynomial] | * [http://www.mathpages.com/HOME/kmath485.htm Determining the Galois Group of a Polynomial] | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">교양도서 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">교양도서== |
* [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140820&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 1], [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140824&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 2]<br> | * [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140820&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 1], [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140824&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 2]<br> | ||
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| − | ==관련도서 | + | ==관련도서== |
* [http://books.google.com/books?id=NeKmqSRE0V0C Classical Galois theory: with examples]<br> | * [http://books.google.com/books?id=NeKmqSRE0V0C Classical Galois theory: with examples]<br> | ||
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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* 구글 블로그 검색<br> | * 구글 블로그 검색<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 10:32 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
- 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
- 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
- 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
- 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음
근의 공식2차 방정식의 근의 공식==
- 2차 방정식의 근의 공식
- \(ax^2+bx+c=0\)
\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
- \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식
- \(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0\)
- \(a,b,c,d,e,f\)
- \(\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots\)
풀수 있는 방정식==
- 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표에는 어떻게 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
- 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
- 이를 위하여 \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
- 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.
근의 치환==
- 일반적으로 대칭군 (symmetric group)의 부분군을 치환군이라 부른다
- 방정식과 대칭성 : 치환군
다항식과 갈루아체확장==
- (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
- 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
- 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
- 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
- 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨
체확장과 갈루아군==
- 체 \(F\)와 그 체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)을 정의할 수 있음
- \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
- 자기동형사상이란 \(K\)에서 \(K\)에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
- 예) 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장
- 방정식 \(x^2+1=0\) 의 해\(\{i,-i\}\)를 실수체 \(\mathbb{R}\)에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \(\mathbb{C}\) 를 만듦
- \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\) 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 \(z\)에 대하여 \(\operatorname{id}(z)=z\)과 \(\sigma(z)=\bar{z}\)로 정의됨
- \(\sigma(z)=\bar{z}\) 이므로 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다
방정식의 해가 가진 대칭성==
- \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\)의 경우 \(\sigma\)는 복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
- \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
- 이것을 일반화할 수 있음
(정리)
주어진 체 \(F\)에 대하여, \(F\)의 원소들로 계수가 구성된 기약인 방정식 \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\)의 해이면, 위에서처럼 해\(\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n\)를 모두추가하여 만든 체확장 \(K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)의 갈루아군 \(\text{Gal}(K/F)\) 의 원소 \(\sigma\)에 대하여 \(\sigma(\alpha)\) 도 같은 방정식의 해가 된다.
- 증명은 방정식과 대칭성 항목을 참조
예==
- 위에서 본 유리수체\(\mathbb{Q}\)의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)
- 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\)를 어디로 보내는가에 따라 결정
- \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 는 유리계수방정식 \(x^3-2=0\)의 해이고, \(\omega\)와 \(\omega^2\)는 유리계수방정식 \(x^2+x+1=0\)의 해이기 때문
\(\operatorname{id}\)
\(\tau\)
\(\tau^2\)
\(\sigma\)
\(\sigma\tau\)
\(\sigma\tau^2\)
\(\sqrt[3]{2}\)
\(\sqrt[3]{2}\)
\(\omega\sqrt[3]{2}\)
\(\omega^2\sqrt[3]{2}\)
\(\sqrt[3]{2}\)
\(\omega^2\sqrt[3]{2}\)
\(\omega\sqrt[3]{2}\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega\)
\(\omega^2\)
\(\omega^2\)
\(\omega^2\)
- \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 가 같이 움직이고,\(\omega\)와 \(\omega^2\)가 같이 움직임을 볼 수 있음
- \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\)이 됨
- 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재
- 크기가 6인 순환군
- 3개 원소로 이루어진 집합의 대칭군 (symmetric group)은 \(3!=6\) 개의 원소를 가짐
- \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다
- 표를 이용하면 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\) 임을 알 수 있음
- \(\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}\)이고, \(\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2\) 이므로 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\)
- 따라서 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\) 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
- 그러므로 \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3\)
- 요약
- 방정식 \(x^3-2=0\) 으로부터 체확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)을 얻었고, \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 를 얻었음
- \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 의 원소들이 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\) 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.
- 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
- 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
- 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
- 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
- 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음
- 2차 방정식의 근의 공식
- \(ax^2+bx+c=0\)
\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) - \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식
- \(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0\)
- \(a,b,c,d,e,f\)
- \(\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots\)
- 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표에는 어떻게 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
- 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
- 이를 위하여 \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
- 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.
- 일반적으로 대칭군 (symmetric group)의 부분군을 치환군이라 부른다
- 방정식과 대칭성 : 치환군
- (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
- 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
- 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
- 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
- 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨
- 체 \(F\)와 그 체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)을 정의할 수 있음
- \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
- 자기동형사상이란 \(K\)에서 \(K\)에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
- \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
- 예) 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장
- 방정식 \(x^2+1=0\) 의 해\(\{i,-i\}\)를 실수체 \(\mathbb{R}\)에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \(\mathbb{C}\) 를 만듦
- \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\) 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 \(z\)에 대하여 \(\operatorname{id}(z)=z\)과 \(\sigma(z)=\bar{z}\)로 정의됨
- \(\sigma(z)=\bar{z}\) 이므로 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다
- 방정식 \(x^2+1=0\) 의 해\(\{i,-i\}\)를 실수체 \(\mathbb{R}\)에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \(\mathbb{C}\) 를 만듦
- \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\)의 경우 \(\sigma\)는 복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
- \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
- \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
- 이것을 일반화할 수 있음
- 증명은 방정식과 대칭성 항목을 참조
- 위에서 본 유리수체\(\mathbb{Q}\)의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)
- 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\)를 어디로 보내는가에 따라 결정
- \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 는 유리계수방정식 \(x^3-2=0\)의 해이고, \(\omega\)와 \(\omega^2\)는 유리계수방정식 \(x^2+x+1=0\)의 해이기 때문
- 크기가 6인 순환군
- 3개 원소로 이루어진 집합의 대칭군 (symmetric group)은 \(3!=6\) 개의 원소를 가짐
- 표를 이용하면 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\) 임을 알 수 있음
- \(\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}\)이고, \(\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2\) 이므로 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\)
- 따라서 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\) 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
- 그러므로 \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3\)
- 방정식 \(x^3-2=0\) 으로부터 체확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)을 얻었고, \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 를 얻었음
- \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 의 원소들이 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\) 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.
갈루아 체확장==
- transitivity와 fixed point free action 또는 \(\text{Gal}(K/F)=|K:F|\)
- 유한체
- 원분체 (cyclotomic field) 와 원분다항식(cyclotomic polynomial)
5차방정식에의 응용== \(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals. It has two complex and 3 real roots. This implies the Galois group is \(S_5\).
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/galois_theory
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Determining the Galois Group of a Polynomial
- Galois Theory for Beginners
- John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
- The Evolution of Group Theory: A Brief Survey
- Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
- Galois and Group Theory
- Garrett Birkhoff, Osiris, Vol. 3, (1937), pp. 260-268
교양도서==
- 프랑스 수학자 갈루아 1, 프랑스 수학자 갈루아 2
- 톰 펫시니스 저/김연수 역 | 이끌리오
- The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry
- Mario Livio
관련도서
- Classical Galois theory: with examples
- Lisl Gaal 1998
- Galois Theory
- Harold M. Edwards (1984), Springer-Verlag
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관련기사
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블로그
- John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
- Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
- Garrett Birkhoff, Osiris, Vol. 3, (1937), pp. 260-268
- 프랑스 수학자 갈루아 1, 프랑스 수학자 갈루아 2
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