"감마함수"의 두 판 사이의 차이

2009년 12월 5일 (토) 10:07 판

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감마함수

정의

\(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
\(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)
\(\Gamma(0)=1\)
팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장

적분표현

(Binet's second expression)

\(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)

(http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고)

반사공식

\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
일반적으로
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
(증명)

\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)

곱셈공식

\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!\)

Digamma 함수

감마함수의 로그미분으로 정의

\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

자세한 사실은 Digamma 함수 항목 참조.

오일러 베타적분

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