"감마함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5>정의</h5>
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<h5>개요</h5>
  
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* <math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>
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* <br>
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* <math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math>
 
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* 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>
 
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* <math>\Gamma(0)=1</math>
 
 
* 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장
 
* 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장
  
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<h5>적분표현</h5>
 
<h5>적분표현</h5>
  
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(Binet's second expression)
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*  Binet's second expression<br><math>\operatorname{Re} z > 0 </math> 일 때, <math>\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt</math><br>http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고<br>
  
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<math>\operatorname{Re} z > 0 </math> 일 때, <math>\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt</math>
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(http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고)
 
  
 
 
 
 
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<h5>오일러 베타적분</h5>
 
<h5>오일러 베타적분</h5>
  
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* [[#]]
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<math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]] 항목 참조
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<h5>감마함수와 초월수</h5>
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* 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
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*  다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다<br><math>\Gamma(\frac{1}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{2}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{3}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{6})</math>, <math>\Gamma(\frac{5}{6})</math><br>
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*  미해결 문제. 다음은 초월수인가?<br><math>\Gamma(\frac{1}{5})</math><br>
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* [[무리수와 초월수]] 항목 참조
  
 
 
 
 

2009년 12월 5일 (토) 12:37 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장

 

 

적분표현
  • Binet's second expression
    \(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)
    http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고

 

 

반사공식
  • \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
  • \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
  • 일반적으로 
    \(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
    (증명)

\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)

 

 

곱셈공식
  • \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
  • \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!\)

 

 

Digamma  함수
  • 감마함수의 로그미분으로 정의

\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

 

 

오일러 베타적분

\(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

 

 

감마함수와 초월수
  • 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
  • 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다
    \(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
  • 미해결 문제. 다음은 초월수인가?
    \(\Gamma(\frac{1}{5})\)
  • 무리수와 초월수 항목 참조

 

 

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