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* 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장한 함수
 
* 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장한 함수
 
*  다음과 같은 중요한 성질을 갖는다<br><math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math><br><math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math><br><math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)</math><br>
 
*  다음과 같은 중요한 성질을 갖는다<br><math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math><br><math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math><br><math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)</math><br>
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* <math>s</math>가 유리수일때의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제
 
* <math>s</math>가 유리수일때의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제
  
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* <math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>
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* 실수부가 <math>\Re s>0</math>인 복소수 <math>s>0</math>에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math><br>
 
* <math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math>
 
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* 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>
 
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* <math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math>를 이용하여, 복소평면전체에서 정의된 meromorphic 함수로 이해가능
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* <math>s=0,-1,-2\cdots</math>에서 폴(pole)을 가진다
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* <math>s>0</math>일 때, <math>\ln \Gamma(s)</math>의 그래프<br>[/pages/3197800/attachments/3140463 logofgamma.jpg]<br>
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%90%EB%A7%88%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%90%EB%A7%88%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/gamma_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/gamma_function
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function ]http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr%E2%80%93Mollerup_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr–Mollerup_theorem]
 
* http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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<h5>관련도서</h5>
  
 
*  The Gamma Function<br>
 
*  The Gamma Function<br>

2010년 3월 27일 (토) 07:56 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장한 함수
  • 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다
    \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
    \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
    \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)
  • #
  • \(s\)가 유리수일때의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제

 

 

정의
  • 실수부가 \(\Re s>0\)인 복소수 \(s>0\)에 대하여 다음과 같이 정의
    \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
  • \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
  • 자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)

 

 

해석적확장
  • 해석적확장(analytic continuation)
  • \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)를 이용하여, 복소평면전체에서 정의된 meromorphic 함수로 이해가능
  • \(s=0,-1,-2\cdots\)에서 폴(pole)을 가진다

 

 

함수의 그래프
  • \(-4<s<4\)의 범위에서 다음과 같은 그래프를 가짐
    [/pages/3197800/attachments/3140461 gamma.jpg]
  • \(s>0\)일 때, \(\ln \Gamma(s)\)의 그래프
    [/pages/3197800/attachments/3140463 logofgamma.jpg]

 

 

 

무한곱표현

\(\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)

 

 

적분표현
  • Binet's second expression
    \(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)
    http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고

 

 

반사공식
  • \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
  • \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
  • 일반적으로 
    \(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
    (증명)

\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)

 

 

곱셈공식
  • 이항
    \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
    \(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\)
  • 일반화
    \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\)

 

 

Digamma  함수
  • 감마함수의 로그미분으로 정의

\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

 

 

오일러 베타적분

\(B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

 

 

감마함수와 초월수
  • 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.
  • 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다
    \(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
  • 미해결 문제. 다음은 초월수인가?
    \(\Gamma(\frac{1}{5})\)
  • 무리수와 초월수 항목 참조

 

 

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