"볼록다면체에 대한 데카르트 정리"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
 
  
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*   <br> 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 <math>2\pi</math>.<br><br> 위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.<br> 이를 다 합하면 <math>2\pi</math>가 됨.<br>
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* 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
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* 다면체의 한 점에서의 외각<br>
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==개요==
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** '''<math>2\pi</math>  (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)'''
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** 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.
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* [[다각형의 외각의 합]]
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*  다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 <math>2\pi</math> 위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기. 이를 다 합하면 <math>2\pi</math>가 됨.
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* 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
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* 다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응
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==결손각(angle defect)과 정다면체==
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* 결손각의 정의 ''':'''<math>2\pi</math>'''- (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)'''
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* 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.
  
 
{| style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse;"
 
{| style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse;"
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| 다면체
 
| 다면체
 
| 그림
 
| 그림
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| 점 <em>V</em>
+
| 점 <em style="">V</em>
−
| 선 <em>E</em>
+
| 선 <em style="">E</em>
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| 면 <em>F</em>
+
| 면 <em style="">F</em>
−
| <em>V-E+F</em>
+
| <em style="">V-E+F</em>
−
| 한점에서의 외각 <em>A</em>
+
| 한점에서의 결손각 <em style="">A</em>
−
| 외각의 총합 <em>V × A</em>
+
| 결손각의 총합 <em style="">V × A</em>
 
|-
 
|-
 
| 정사면체
 
| 정사면체
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| [[|Tetrahedron]]
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| [[Tetrahedron]]
  
 
| 4
 
| 4
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| 4
 
| 4
 
| 4-6+4=2
 
| 4-6+4=2
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| <math>2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi</math>
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| <math>2\pi-3\times \frac{\pi}{3}=\pi</math>
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| <math>4\times\pi=4\pi</math>
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| <math>4\times \pi=4\pi</math>
 
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| 정육면체
 
| 정육면체
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| [[|Hexahedron (cube)]]
+
| [[Hexahedron (cube)]]
  
 
| 8
 
| 8
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| 6
 
| 6
 
| 8-12+6=2
 
| 8-12+6=2
−
| <math>2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}</math>
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| <math>2\pi-3\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}</math>
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| <math>8\times\frac{\pi}{2}=4\pi</math>
+
| <math>8\times \frac{\pi}{2}=4\pi</math>
 
|-
 
|-
 
| 정팔면체
 
| 정팔면체
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| [[|Octahedron]]
+
| [[Octahedron]]
  
 
| 6
 
| 6
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| 8
 
| 8
 
| 6-12+8=2
 
| 6-12+8=2
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| <math>2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}</math>
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| <math>2\pi-4\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}</math>
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| <math>6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi</math>
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| <math>6\times \frac{2\pi}{3}=4\pi</math>
 
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| 정십이면체
 
| 정십이면체
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| [[|Dodecahedron]]
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| [[Dodecahedron]]
  
 
| 20
 
| 20
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| 12
 
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| 20-30+12=2
 
| 20-30+12=2
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| <math>2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}</math>
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| <math>2\pi-3\times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}</math>
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| <math>20\times\frac{\pi}{5}=4\pi</math>
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| <math>20\times \frac{\pi}{5}=4\pi</math><math>20\times\frac{\pi}{5}=4\pi</math>
 
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| 정이십면체
 
| 정이십면체
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| [[|Icosahedron]]
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| [[Icosahedron]]
  
 
| 12
 
| 12
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| 20
 
| 20
 
| 12-30+20=2
 
| 12-30+20=2
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| <math>2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}</math>
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| <math>2\pi-5\times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}</math>
 
| <math>12\times\frac{\pi}{3}=4\pi</math>
 
| <math>12\times\frac{\pi}{3}=4\pi</math>
 
|}
 
|}
  
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* 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 외각의 총합이 <math>4\pi</math> 라는 것.
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* 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 결손각의 총합이 <math>2\pi</math>라는 것.
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* 증명
 
  
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다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.
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각 점에서의 외각의 총합
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==증명==
  
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다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.
  
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<math>n_k</math>를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.
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다음과 같은 사실들을 사용하자.
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* 각 k각형의 내각의 합은 <math>(k-2)\pi</math> 이다
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* 각 점에서의 결손각들을 모두 더하면 <math>2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)\pi n_k</math> 이다
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* <math>\sum_{k\ge3}k n_k = 2E</math> 가 성립한다
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** 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다.
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* 오일러의 정리 <math>V-E+F=2</math>
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따라서 결손각의 총합은 다음과 같이 쓰여진다.
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:<math>2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)n_k=2\pi V-\sum_{k\ge3}kn_k+2\pi F=2\pi (V-E+F)=4\pi</math>
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==응용==
  
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* 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.
  
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이제,  를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.
 
  
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k각형의 내각의 합은  이므로, 위의 식은 다음과 같아진다.
 
  
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점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인
  
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정오각형의 한 점의 내각의 크기가 <math>{3\pi}/{5}</math>
  
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한 점에서의 결손각이 <math>{\pi}/{5}</math>가 된다는 것을 알수 있음.
  
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데카르트의 정리에 의해 <math>4\pi</math>  를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.
  
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* 비슷한 응용으로 [[축구공의 수학]] 항목 참조.
  
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여기서 가 성립하는데, 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. 따라서 위의 식은
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
  
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* [[미분기하학]]
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* [[대수적위상수학]]
  
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  (오일러의 정리가 사용되었음)
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.
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* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
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* [[다각형의 외각의 합]]
  
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* [[2584900/attachments/1127472|]]
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그러면 점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인하고, 정오각형의 한 점의 내각의 크기가 <math>\frac{3\pi}{5}</math> 라는 사실을 이용하면, 한 점에서의 외각이 <math>\frac{\pi}{5}</math> 가 된다는 것을 알수 있다. 그러면 <math>4\pi</math> 를 이 숫자로 나누면 20을 얻게 된다. 안 세고도 알 수 있다니 얼마나 좋은가?
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==관련도서==
  
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데카르트의 정리는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립한다.
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* [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology]
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** David S. Richeson
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** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
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* [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/handouts.html Geometry and the Imagination in Minneapolis]
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** John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, Bill Thurston
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** This document consists of the collection of handouts for a two-week summer workshop entitled 'Geometry and the Imagination', led by John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston at the Geometry Center in Minneapolis, June 17-28, 1991. The workshop was based on a course `Geometry and the Imagination' which we had taught twice before at Princeton.
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** [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node18.html#SECTION000180000000000000000 The angle defect of a polyhedron]
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** [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node19.html#SECTION000190000000000000000 Descartes's Formula.]
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*  도서내검색
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
  
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그러면 축구공에는 점이 몇 개 있는가? 이걸 알고 싶으면, 무식하게 개수를 세다가 헤맬 것이 아니라,<br> 0. 모든 점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인한 후,<br> 1. 한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음,<br> 2. 정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도<br> 3. 따라서 축구공 한 점에서의 외각 크기 = 360도 -108도 -120도 -120도 = 12도<br> 4. 데카르트 정리를 이용하여 <math>4\pi \div 12</math>도 <math> = 720 \div 12 = 60</math>
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==사전형태의 자료==
  
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그러므로 축구공에는 점이 60개 있다
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
  
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<h5>관련된 단원</h5>
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==관련기사==
  
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=정다면체]
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
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==블로그==
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리]
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<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
 
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<h5>참고할만한 자료</h5>
 
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리]<br>
 
 
** 피타고라스의 창
 
** 피타고라스의 창
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[[분류:중학수학]]
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[[분류:구면기하학]]
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<h5>동영상 강좌</h5>
 

2020년 11월 13일 (금) 20:12 기준 최신판


개요

  • 다각형의 외각의 합
  • 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\) 위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기. 이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
  • 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
  • 다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응

결손각(angle defect)과 정다면체

  • 결손각의 정의 :\(2\pi\)- (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
  • 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.
다면체 그림 점 V 선 E 면 F V-E+F 한점에서의 결손각 A 결손각의 총합 V × A
정사면체 Tetrahedron 4 6 4 4-6+4=2 \(2\pi-3\times \frac{\pi}{3}=\pi\) \(4\times \pi=4\pi\)
정육면체 Hexahedron (cube) 8 12 6 8-12+6=2 \(2\pi-3\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) \(8\times \frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체 Octahedron 6 12 8 6-12+8=2 \(2\pi-4\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) \(6\times \frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체 Dodecahedron 20 30 12 20-30+12=2 \(2\pi-3\times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) \(20\times \frac{\pi}{5}=4\pi\)\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체 Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2 \(2\pi-5\times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)
  • 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 결손각의 총합이 \(2\pi\)라는 것.



증명

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

\(n_k\)를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자. 다음과 같은 사실들을 사용하자.

  • 각 k각형의 내각의 합은 \((k-2)\pi\) 이다
  • 각 점에서의 결손각들을 모두 더하면 \(2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)\pi n_k\) 이다
  • \(\sum_{k\ge3}k n_k = 2E\) 가 성립한다
    • 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다.
  • 오일러의 정리 \(V-E+F=2\)

따라서 결손각의 총합은 다음과 같이 쓰여진다. \[2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)n_k=2\pi V-\sum_{k\ge3}kn_k+2\pi F=2\pi (V-E+F)=4\pi\] ■

응용

  • 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.


점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인

정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \({3\pi}/{5}\)

한 점에서의 결손각이 \({\pi}/{5}\)가 된다는 것을 알수 있음.

데카르트의 정리에 의해 \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.



관련된 고교수학 또는 대학수학



관련된 항목들



관련도서



사전형태의 자료



관련기사



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