볼록다면체에 대한 데카르트 정리

개요

• 다각형의 외각의 합
• 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\) 위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기. 이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
• 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
• 다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응

결손각(angle defect)과 정다면체

• 결손각의 정의 :\(2\pi\)- (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
• 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.

다면체	그림	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 결손각 A	결손각의 총합 V × A
정사면체	Tetrahedron	4	6	4	4-6+4=2	\(2\pi-3\times \frac{\pi}{3}=\pi\)	\(4\times \pi=4\pi\)
정육면체	Hexahedron (cube)	8	12	6	8-12+6=2	\(2\pi-3\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)	\(8\times \frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체	Octahedron	6	12	8	6-12+8=2	\(2\pi-4\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)	\(6\times \frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체	Dodecahedron	20	30	12	20-30+12=2	\(2\pi-3\times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\)	\(20\times \frac{\pi}{5}=4\pi\)\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체	Icosahedron	12	30	20	12-30+20=2	\(2\pi-5\times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)	\(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)

• 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 결손각의 총합이 \(2\pi\)라는 것.

증명

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

\(n_k\)를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자. 다음과 같은 사실들을 사용하자.

• 각 k각형의 내각의 합은 \((k-2)\pi\) 이다
• 각 점에서의 결손각들을 모두 더하면 \(2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)\pi n_k\) 이다
• \(\sum_{k\ge3}k n_k = 2E\) 가 성립한다
  • 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다.
• 오일러의 정리 \(V-E+F=2\)

따라서 결손각의 총합은 다음과 같이 쓰여진다. \[2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)n_k=2\pi V-\sum_{k\ge3}kn_k+2\pi F=2\pi (V-E+F)=4\pi\] ■

응용

• 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.

점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인

정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \({3\pi}/{5}\)

한 점에서의 결손각이 \({\pi}/{5}\)가 된다는 것을 알수 있음.

데카르트의 정리에 의해 \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.

• 비슷한 응용으로 축구공의 수학 항목 참조.

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 미분기하학
• 대수적위상수학

관련된 항목들

• 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2
• 다각형의 외각의 합

관련도서

• Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
  • David S. Richeson
  • 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
• Geometry and the Imagination in Minneapolis
  • John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, Bill Thurston
  • This document consists of the collection of handouts for a two-week summer workshop entitled 'Geometry and the Imagination', led by John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston at the Geometry Center in Minneapolis, June 17-28, 1991. The workshop was based on a course `Geometry and the Imagination' which we had taught twice before at Princeton.
  • The angle defect of a polyhedron
  • Descartes's Formula.
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