"양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

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:<math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math>
 
:<math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math>
 
* <math>q\to 1</math> 이면,  
 
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:<math>\int_0^a f(x) d_q x \to  \int_0^a f(x) dx </math><br>
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* [[다이로그 함수(dilogarithm)]]
 
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:<math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math>
 
:<math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math>
* 잭슨 적분을 이용하여 $\operatorname{Li}_{2,q}(z)$를 다음과 같이 정의  
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* 잭슨 적분을 이용하여 <math>\operatorname{Li}_{2,q}(z)</math>를 다음과 같이 정의  
 
:<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n)  </math>
 
:<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n)  </math>
 
* 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함
 
* 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함
 
:<math>\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math>
 
:<math>\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math>
 
* 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음
 
* 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음
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:<math>
 
\operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)}
 
\operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)}
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* 다음의 관계가 성립한다
 
* 다음의 관계가 성립한다
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-\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)}
 
-\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)}
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* <math>q=e^{-t}</math> 이고 t가 0으로 갈 때,  
 
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:<math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math>
 
:<math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math>
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\operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots
 
\operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots
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==q가 root of unity 일 때의 근사식==
 
==q가 root of unity 일 때의 근사식==
  
* '''[BR1995]''' section 3<br>
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* Quantum dilogarithm, [http://wain.mi.ras.ru/indexrus.html Wadim Zudilin], Preprint, Bonn and Moscow (2006)
 
* Quantum dilogarithm, [http://wain.mi.ras.ru/indexrus.html Wadim Zudilin], Preprint, Bonn and Moscow (2006)
 
* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784 The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm] R. M. Kashaev, 1996
 
* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784 The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm] R. M. Kashaev, 1996
* Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal<br> Volume 3, Number 2, 205-214, doi:[http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631 10.1023/A:1006949508631]
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* Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal Volume 3, Number 2, 205-214, doi:[http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631 10.1023/A:1006949508631]
 
* '''[BR1995]'''Bazhanov, V V,  and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. <em>Journal of Physics A: Mathematical and General</em> 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:[http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 10.1088/0305-4470/28/8/014]. [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=48&mx-pid=1338071 MR1338071(96k:81087)]
 
* '''[BR1995]'''Bazhanov, V V,  and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. <em>Journal of Physics A: Mathematical and General</em> 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:[http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 10.1088/0305-4470/28/8/014]. [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=48&mx-pid=1338071 MR1338071(96k:81087)]
 
* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm] Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
 
* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm] Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394003610 Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol] R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768<br>
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* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394003610 Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol] R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768
* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm] L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=52&mx-pid=1264393 MR1264393(95i:11150)]<br>
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* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm] L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=52&mx-pid=1264393 MR1264393(95i:11150)]
  
 
[[분류:다이로그]]
 
[[분류:다이로그]]

2020년 11월 16일 (월) 05:05 판

개요

\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

\[(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

 

잭슨 적분과 양자 다이로그 함수

q-integral (Jackson integral)

  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의

\[\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\]

  • \(q\to 1\) 이면,

\[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]


 

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]

  • 잭슨 적분을 이용하여 \(\operatorname{Li}_{2,q}(z)\)를 다음과 같이 정의

\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) \]

  • 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함

\[\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]

  • 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음

\[ \operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} \]

  • 다음의 관계가 성립한다

\[ -\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} \]

 

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

  • \(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,

\[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\] \[ \operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots \]


 

q가 root of unity 일 때의 근사식

  • [BR1995] section 3

 

양자 다이로그 항등식

 

역사

 

 

 

메모

 


관련된 항목들

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스


 

사전 형태의 자료


 

리뷰논문과 에세이

 

관련논문