양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

개요

• 다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue

\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

• 오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식에 등장함

\[(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

잭슨 적분과 양자 다이로그 함수

q-integral (Jackson integral)

• q-적분 참조

• \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의

\[\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\]

• \(q\to 1\) 이면,

\[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

• 다이로그 함수(dilogarithm)

\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]

• 잭슨 적분을 이용하여 \(\operatorname{Li}_{2,q}(z)\)를 다음과 같이 정의

\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) \]

• 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함

\[\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]

• 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음

\[ \operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} \]

• 다음의 관계가 성립한다

\[ -\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} \]

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

• \(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,

\[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\] \[ \operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots \]

q가 root of unity 일 때의 근사식

• [BR1995] section 3

양자 다이로그 항등식

• 양자 다이로그 항등식 (quantum dilogarithm identities)

메모

• Notes on Construction of the Knot Invariant from Quantum Dilogarithm Function
• http://ncatlab.org/nlab/show/quantum+dilogarithm
• http://www.birs.ca/events/2010/5-day-workshops/10w5069/videos/watch/201009161744-Keller.mp4

관련된 항목들

• 5항 관계식 (5-term relation)
• 오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식
• q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)
• q-감마함수
• q-이항정리
• q-초기하급수의 근사식
• 양자 바일 대수와 양자평면

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTGw0Vy1Ma2R0Ujg/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_dilogarithm

리뷰논문과 에세이

• R. M. Kashaev , Faddeev's quantum dilogarithm and 3-manifold invariants, Nov 2012
  • 비디오
• Recordings from the workshop on quantum dilogarithms and quantum Teichmüller theory, Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces, 2010

관련논문

• Kashaev, Rinat, and Marcos Marino. “Operators from Mirror Curves and the Quantum Dilogarithm.” arXiv:1501.01014 [hep-Th, Physics:math-Ph], January 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.01014.
• Quantum dilogarithm, Wadim Zudilin, Preprint, Bonn and Moscow (2006)
• The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm R. M. Kashaev, 1996
• Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal Volume 3, Number 2, 205-214, doi:10.1023/A:1006949508631
• [BR1995]Bazhanov, V V, and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. Journal of Physics A: Mathematical and General 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:10.1088/0305-4470/28/8/014. MR1338071(96k:81087)
• A link invariant from quantum dilogarithm Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
• Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768
• Quantum Dilogarithm L.D.Fadeev and R.M.Kashaev, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 MR1264393(95i:11150)