테스트

개요

• j-불변량
  • 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
• 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
• 복소 이차 수체의 class field 이론에서 중요한 역할
• 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장

정의

• \(q=e^{2\pi i\tau},\tau\in \mathbb{H}\)라 두자
• 타원 모듈라 j-함수는 다음과 같이 정의된다

\[ j(\tau)= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \] 여기서 \[ E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots,\quad \sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\]는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), \[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\] 는 판별식 함수

• 다음과 같이 쓰기도 한다

\[j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}\] 여기서 \(g_2,g_3\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조

singular moduli

• quadratic imaginary number 에서의 값
• 예 :

\[j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\]

• 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli 참조
• 판별식이 -23인 세 이차형식 (숫자 23과 다항식 x³-x+1 참조)

\[ x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3 \] 의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자 \[ j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)\]

• 이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다

\[ x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 \]

슈나이더의 정리

• 복소상반평면의 대수적 수 \(\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}\)에 대하여, \(\tau\)가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, \(j(\tau)\)는 초월수이다.

푸리에 계수

• \(j(\tau)=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n=q^{-1}+744+196884q+\cdots\)로 두면, \(c(n)\)은 다음과 같이 주어진다
• 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
• 근사식 [Rademacher1938]

\[c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})\] 여기서 \(I_ 1\) 은 베셀 함수, \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }\] 이 때, \(hh'\equiv -1 \mod k\). \(A_k(n)\)은 클루스터만 합의 특수한 경우

• 점근 급수

\[ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right) \]

무한곱

• 다음이 성립한다 (http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_Lie_algebra)

\[ j(p)-j(q)= \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c(nm)} \]

모듈라 다항식

• j-불변량과 모듈라 다항식
• \(\Phi_n\bigl(j(n\tau),j(\tau)\bigr)=0\)를 만족하는 기약다항식 \(\Phi_n(x,y)\in{\mathbb{ Z}}[x,y]\)이 존재하며, 이 때 차수는 \(x,y\) 각각에 대하여 \(\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)\)로 주어진다

역사

• 1877 데데킨트
• 1878 클라인

메모

• Hilbert class fields of imaginary quadratic fields are generated by singular moduli

관련된 항목들

• Complex multiplication
• 타원적분
• 타원함수
• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
• 가우스의 class number one 문제
• 숫자 163
• 몬스터 군
• 라마누잔의 class invariants
• 분할수의 근사 공식 (하디-라마누잔-라데마커 공식)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZmh4aHM5M0l1M2c/edit
• http://mathoverflow.net/questions/71704/computing-the-q-series-of-the-j-invariant
• http://oeis.org/A000521
• http://mvngu.googlecode.com/hg/10143-plot/sage/schemes/elliptic_curves/cm.html

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/j-invariant
• http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

관련도서

• Ranestad, Kristian, ed. 2008. The 1-2-3 of Modular Forms. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. http://www.springerlink.com/content/r351n3u4608rm816/.

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Cohen, Paula B. 2000. “On the Modular Function and Its Importance for Arithmetic.” In Noise, Oscillators and Algebraic Randomness, edited by Michel Planat, 388–397. Lecture Notes in Physics 550. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-45463-2_21. http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45463-2_21
• B.J.Green The Ramanujan Constant. An Essay on Elliptic Curves, Complex. Multiplication and Modular Forms.
• Stark, H. M. 1973. “Class-Numbers of Complex Quadratic Fields.” In Modular Functions of One Variable I, edited by Willem Kuijk, 153–174. Lecture Notes in Mathematics 320. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-38509-7_5.

관련논문

• Nicolas Brisebarre, and Georges Philibert. 2003. “Effective lower and upper bounds for the Fourier coefficients of powers of the modular invariant j.” Research report. http://lara.inist.fr/handle/2332/864.
• Gross, Benedict H., and Don B. Zagier. 1985. “On Singular Moduli.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik. [Crelle’s Journal] 355: 191–220. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662
• Cohen, Paula. 1984. “On the Coefficients of the Transformation Polynomials for the Elliptic Modular Function.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 95 (3): 389–402. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100061697.
• Herrmann, Oskar. 1975. “Über Die Berechnung Der Fourierkoeffizienten Der Funktion \(j(\tau )\).” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik 274/275: 187–195. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002190532&IDDOC=253998
• Lehmer, D. H. 1942. “Properties of the Coefficients of the Modular Invariant J(τ).” American Journal of Mathematics 64 (1) (January 1): 488–502. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2371699.
• [Rademacher1938] Rademacher, Hans. 1938. “The Fourier Coefficients of the Modular Invariant J(τ).” American Journal of Mathematics 60 (2) (April 1): 501–512. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2371313.
• H. Petersson: [1]. "fiber die Entwicklungskoefficienten der automorphen Formen," Acta, Mathe- matica, vol. 58 (1932), p. 202.

[[분류:정수론]

메타데이터

위키데이터

• ID : Q17099049

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'monster'}, {'LOWER': 'lie'}, {'LEMMA': 'algebra'}]