"2차원 이징 모형 (사각 격자)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
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*  
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* 통계물리에서 중요하게 취급되는 자성체의 모형
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* 격자의 각 점에 놓인 스핀들이 가장 가까운 거리에 있는 경우에만 상호작용을 하는 것을 가정
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* 2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며, 정확히 풀리는 모형의 대표적인 예
  
  
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==해밀토니안과 분배함수==
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==정의==
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* $N\times M$ 격자의 이징 모형
+
* <math>M\times N</math> 크기 2차원 사각격자 <math>L</math>
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* 분배함수는 다음과 같이 주어짐
+
* 스핀의 배열 <math>\sigma</math>은 함수 <math>\sigma : L\to \pm 1 </math>를 의미
−
$$
+
* 각 <math>\sigma</math>에 대한 에너지, 즉 해밀토니안은 다음과 같다
−
Z=\sum e^{-\beta H}=\sum_{s_{11},\cdots, s_{NM}}\exp \sum_{n,m} (K_1s_{n\,m}s_{n+1\,m}+K_2s_{n\,m}s_{n\,m+1})
+
:<math>
−
$$
+
H(\sigma)=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (J_1s_{m,n}s_{m+1,n}+J_2s_{m,n}s_{m,n+1})
−
* 한 층에 해당하는 스핀 $S_n=\{s_{n1},\cdots, s_{nM}\}$을 도입하면, 분배함수는 다음과 같이 쓰여진다
+
</math>
−
$$
+
여기서 <math>s_{m,n}</math>은 <math>(m,n)\in L</math>에서의 <math>\sigma</math>의 값
−
Z_{N,M}=\sum_{S'_1,S_1,\cdots, S'_N,S_N} (V_1)_{S_1S'_2}(V_2)_{S_2S'_2}\cdots(V_1)_{S_NS'_1}(V_2)_{S_1S'_1}
+
 
−
$$
+
 
−
이 때,
+
==분배함수==
−
$$
+
* 분배함수 <math>Z(\beta)</math>는 모든 가능한 스핀 배열 <math>\sigma=\{s\}</math>에 대하여 <math>\exp\left(-\beta H(\{s\})\right)</math>를 더한 값으로 정의, 즉
−
(V_1)_{S_nS'_{n+1}}=\exp(K_1\sum_{m}s_{n\,m}s_{n+1\,m}),
+
:<math>
−
$$
+
\begin{align}
−
$$
+
Z_(\beta) & =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \\
−
(V_2)_{S'_nS_{n}}=\exp(K_2\sum_{m}s_{n\,m}s_{n\,m+1})\prod_{m}\delta_{s_{n\,m}s'_{n\, m}}
+
&=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N\prod_{m=1}^M \exp (K_1s_{m,n}s_{m+1,n}+K_2s_{m,n}s_{m,n+1}) \label{Zustandssumme}
−
$$
+
\end{align}
−
* [[1차원 이징 모형(Ising model)]]에서와 유사하게, $2^M\times 2^M$ 행렬 $V_1,V_2$를 다음과 같이 표현할 수 있다
+
</math>
−
$$
+
여기서 <math>\beta=1/(kT)</math>, <math>T</math>는 온도, <math>k</math> 볼츠만 상수
−
V_1 =(2\sinh 2K_1)^{M/2}\exp (K_1^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x)
+
* <math>J_1,J_2>0</math>이면, 이는 강자성체의 모형이 된다
−
$$
+
* 통계물리에서 모형을 이해하기 위해 중요한 과제는 \ref{Zustandssumme}를 구하는 것
−
$$
+
 
−
V_2=\exp (K_2 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z)
+
==전달행렬==
−
$$
+
* 한 층에 해당하는 스핀 <math>S_n=\{s_{1,n},\cdots, s_{M,n}\}</math>을 도입하면, \ref{Zustandssumme}는 다음과 같이 쓰여진다
−
여기서 $\tanh K_1^*=e^{-2K_1}$이고 $\sigma^x, \sigma^z$를 [[파울리 행렬]]이라 하면, $m=1\cdots M$에 대하여
+
:<math>
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\begin{aligned}
 +
Z&=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N \exp (\sum_{m=1}^M K_1s_{m,n}s_{m+1,n}) \exp (\sum_{m=1}^M K_2s_{m,n}s_{m,n+1})\\
 +
&=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}(V_2)_{S_NS_1} \\
 +
&=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}^{1/2}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}^{1/2}(V_2)_{S_NS_1}(V_1)_{S_1}^{1/2}
 +
\end{aligned} \label{Zustandssumme2}
 +
</math>
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여기서
 +
:<math>
 +
\begin{aligned}
 +
(V_1)_{S_{n}}&=\exp(K_1\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m+1,n}) \\
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(V_2)_{S_nS_{n+1}}&=\exp(K_2\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m,n+1})
 +
\end{aligned}\label{entry}
 +
</math>
 +
* [[1차원 이징 모형(Ising model)]]에서와 유사하게, <math>(\mathbb{C}^2)^{\otimes N}</math>에 작용하는 연산자 <math>V_1,V_2</math>를 다음과 같이 정의하자
 +
:<math>
 +
V_1=\exp (K_1 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z)
 +
</math>
 +
:<math>
 +
V_2 =(2\sinh 2K_2)^{M/2}\exp (K_2^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x)
 +
</math>
 +
여기서 <math>\tanh K_2^*=e^{-2K_2}</math>이고 <math>\sigma^x, \sigma^z</math>를 [[파울리 행렬]]이라 하면, <math>m=1,\cdots, M</math>에 대하여
 
:<math>\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,</math>
 
:<math>\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,</math>
 
:<math>\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1</math>
 
:<math>\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1</math>
 +
* 표준적인 <math>(\mathbb{C}^2)^{\otimes N}</math>의 기저 <math>\{S_{1},\cdots, S_{2^M}\}</math>를 이용하여, <math>V_1</math>와 <math>V_2</math>를 <math>2^M\times 2^M</math> 행렬로 이해할 수 있고, 이 때 행렬의 성분은 \ref{entry}로 주어지게 된다
 +
* \ref{Zustandssumme2}는 이제 다음과 같이 쓸 수 있다
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:<math>
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Z= \operatorname{Tr} (V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2})^N=\operatorname{Tr} T^N
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</math>
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여기서 <math>T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}</math>
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* <math>T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}</math>를 [[전달행렬 (transfer matrix)]]이라 부르며, 분배함수 <math>Z</math>를 구하는 문제는 이제 <math>T</math>를 대각화하는 문제로 이해할 수 있다
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===unitary transformation===
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* 다음의 변환을 적용
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:<math>
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\sigma^x\mapsto -\sigma^z \\
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\sigma^z\mapsto -\sigma^x
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</math>
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* <math>UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^{M-1}(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})-K_1(c_M^\dagger-c_M)(c_{1}^\dagger+c_{1})\prod_{m=1}^M (1-2c_{m}^\dagger c_{m})\right]</math>
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* <math>c_{m}^\dagger c_{m}</math>은 number operator
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* <math>c_{M+1}^\dagger=(-1)^{N_F-1}c_{1}^\dagger</math>, <math>c_{M+1}=(-1)^{N_F-1}c_{1}</math>
 +
* <math>UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^M(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})\right]</math>
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===전달행렬의 대각화===
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* [[요르단-위그너 변환(Jordan-Wigner transformation)]]
  
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==메모==
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* <math>L \times L</math> 정사각 격자, <math>N=L^2</math>의 경우
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* 해밀토니안이 다음과 같이 주어진 경우
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:<math>
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H(\sigma)= -J \sum_{ \left\langle \, {i,j}\, \right\rangle} \sigma_i \sigma_j
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</math>
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* 자유에너지는
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:<math>
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F= - kT \ln Z_N
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</math>
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* 열역학적 극한에서 스핀당 자유에너지
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:<math>
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f=  - k T \ln  \lambda
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</math>
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여기서 <math>\lambda= \lim_{N\to \infty } Z_N^{1/N}</math>
  
−
==전달행렬과 전달행렬의 대각화==
 
−
* 전달행렬은 $T=V_2^{1/2}V_1V_2^{1/2}$
 
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* [[요르단-위그너 변환(Jordan-Wigner transformation)]]
 
  
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;정리 (온새거, 1944)
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:<math>
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\begin{aligned}
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\ln \lambda & = \ln{2 \cosh(2K)}+ {1\over 2\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi\ln (1-4\kappa \cos \omega_1 \cos \omega_2)\, d\,\omega_1 d\,\omega_2 \\
 +
& = \ln{2 \cosh(2K)}+ \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi } \log \left( \frac{1+\sqrt{1-16 k^2 \cos ^2(\omega_1)}}{2}\right) \, d\,\omega_1 \\
 +
& = \ln{2 \cosh(2K)}-\sum _{n=1}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{\kappa^{2 n}}{4 n}
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\end{aligned}
 +
</math>
 +
여기서 <math>K=\frac{J}{2kT}</math>, <math>2\kappa = \tanh(2K) \operatorname{sech}(2K)</math>
  
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
 
* [[1차원 이징 모형(Ising model)]]
 
* [[1차원 이징 모형(Ising model)]]
−
 
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* [[2차원 이징 모형의 크라머르스-바니어 쌍대성]]
  
 
==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Square-lattice_Ising_model
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Square-lattice_Ising_model
  
 +
 +
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* Suzuki, Sei, Jun-ichi Inoue, and Bikas K. Chakrabarti. “Transverse Ising Chain (Pure System).” In Quantum Ising Phases and Transitions in Transverse Ising Models, 13–46. Lecture Notes in Physics 862. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-33039-1_2.
 +
* http://people.ccmr.cornell.edu/%7Eginsparg/Phys446-546/ising2d.pdf
 +
* http://www.colorado.edu/physics/phys7240/phys7240_fa12/notes/Week3.pdf
 +
* [http://www.apmaths.uwo.ca/%7Emkarttu/ising-landau-1.pdf The Ising model]
  
 
==관련논문==
 
==관련논문==
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* Mohammed, Jahangir, and Swapna Mahapatra. “A Comparative Study of <math>2d</math> Ising Model at Different Boundary Conditions Using Cellular Automata.” arXiv:1601.00518 [cond-Mat, Physics:hep-Th], January 4, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.00518.
 
* Viswanathan, G. M. ‘The Hypergeometric Series for the Partition Function of the 2-D Ising Model’. arXiv:1411.2495 [cond-Mat], 10 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2495.
 
* Viswanathan, G. M. ‘The Hypergeometric Series for the Partition Function of the 2-D Ising Model’. arXiv:1411.2495 [cond-Mat], 10 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2495.
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[[분류:통계물리]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7581981 Q7581981]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'square'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lattice'}, {'LOWER': 'ising'}, {'LEMMA': 'model'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:27 기준 최신판

개요

  • 통계물리에서 중요하게 취급되는 자성체의 모형
  • 격자의 각 점에 놓인 스핀들이 가장 가까운 거리에 있는 경우에만 상호작용을 하는 것을 가정
  • 2차원 이징 모형은 상전이 현상을 보이며, 정확히 풀리는 모형의 대표적인 예


정의

  • \(M\times N\) 크기 2차원 사각격자 \(L\)
  • 스핀의 배열 \(\sigma\)은 함수 \(\sigma : L\to \pm 1 \)를 의미
  • 각 \(\sigma\)에 대한 에너지, 즉 해밀토니안은 다음과 같다

\[ H(\sigma)=-\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^M (J_1s_{m,n}s_{m+1,n}+J_2s_{m,n}s_{m,n+1}) \] 여기서 \(s_{m,n}\)은 \((m,n)\in L\)에서의 \(\sigma\)의 값


분배함수

  • 분배함수 \(Z(\beta)\)는 모든 가능한 스핀 배열 \(\sigma=\{s\}\)에 대하여 \(\exp\left(-\beta H(\{s\})\right)\)를 더한 값으로 정의, 즉

\[ \begin{align} Z_(\beta) & =\sum_{\{s\}} e^{-\beta H(\{s\})} \\ &=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N\prod_{m=1}^M \exp (K_1s_{m,n}s_{m+1,n}+K_2s_{m,n}s_{m,n+1}) \label{Zustandssumme} \end{align} \] 여기서 \(\beta=1/(kT)\), \(T\)는 온도, \(k\) 볼츠만 상수

  • \(J_1,J_2>0\)이면, 이는 강자성체의 모형이 된다
  • 통계물리에서 모형을 이해하기 위해 중요한 과제는 \ref{Zustandssumme}를 구하는 것

전달행렬

  • 한 층에 해당하는 스핀 \(S_n=\{s_{1,n},\cdots, s_{M,n}\}\)을 도입하면, \ref{Zustandssumme}는 다음과 같이 쓰여진다

\[ \begin{aligned} Z&=\sum_{\{s\}}\prod_{n=1}^N \exp (\sum_{m=1}^M K_1s_{m,n}s_{m+1,n}) \exp (\sum_{m=1}^M K_2s_{m,n}s_{m,n+1})\\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}(V_2)_{S_NS_1} \\ &=\sum_{S_1,\cdots, S_N} (V_1)_{S_1}^{1/2}(V_2)_{S_1S_2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_1)_{S_2}^{1/2}(V_2)_{S_2S_3}\cdots(V_1)_{S_N}^{1/2}(V_2)_{S_NS_1}(V_1)_{S_1}^{1/2} \end{aligned} \label{Zustandssumme2} \] 여기서 \[ \begin{aligned} (V_1)_{S_{n}}&=\exp(K_1\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m+1,n}) \\ (V_2)_{S_nS_{n+1}}&=\exp(K_2\sum_{m=1}^M s_{m,n}s_{m,n+1}) \end{aligned}\label{entry} \]

\[ V_1=\exp (K_1 \sum_{m=1}^M \sigma_m^z\sigma_{m+1}^z) \] \[ V_2 =(2\sinh 2K_2)^{M/2}\exp (K_2^* \sum_{m=1}^M \sigma_m^x) \] 여기서 \(\tanh K_2^*=e^{-2K_2}\)이고 \(\sigma^x, \sigma^z\)를 파울리 행렬이라 하면, \(m=1,\cdots, M\)에 대하여 \[\sigma_m^x=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^x}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1,\] \[\sigma_m^z=1\otimes 1\otimes \cdots \otimes \underbrace{\sigma^z}_\mathrm{m-th place} \cdots \otimes 1\]

  • 표준적인 \((\mathbb{C}^2)^{\otimes N}\)의 기저 \(\{S_{1},\cdots, S_{2^M}\}\)를 이용하여, \(V_1\)와 \(V_2\)를 \(2^M\times 2^M\) 행렬로 이해할 수 있고, 이 때 행렬의 성분은 \ref{entry}로 주어지게 된다
  • \ref{Zustandssumme2}는 이제 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ Z= \operatorname{Tr} (V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2})^N=\operatorname{Tr} T^N \] 여기서 \(T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}\)

  • \(T=V_1^{1/2}V_2V_1^{1/2}\)를 전달행렬 (transfer matrix)이라 부르며, 분배함수 \(Z\)를 구하는 문제는 이제 \(T\)를 대각화하는 문제로 이해할 수 있다

unitary transformation

  • 다음의 변환을 적용

\[ \sigma^x\mapsto -\sigma^z \\ \sigma^z\mapsto -\sigma^x \]

  • \(UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^{M-1}(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})-K_1(c_M^\dagger-c_M)(c_{1}^\dagger+c_{1})\prod_{m=1}^M (1-2c_{m}^\dagger c_{m})\right]\)
  • \(c_{m}^\dagger c_{m}\)은 number operator
  • \(c_{M+1}^\dagger=(-1)^{N_F-1}c_{1}^\dagger\), \(c_{M+1}=(-1)^{N_F-1}c_{1}\)
  • \(UV_1U^{-1}=\exp\left[K_1\sum_{j=1}^M(c_j^\dagger-c_j)(c_{j+1}^\dagger+c_{j+1})\right]\)


전달행렬의 대각화

메모

  • \(L \times L\) 정사각 격자, \(N=L^2\)의 경우
  • 해밀토니안이 다음과 같이 주어진 경우

\[ H(\sigma)= -J \sum_{ \left\langle \, {i,j}\, \right\rangle} \sigma_i \sigma_j \]

  • 자유에너지는

\[ F= - kT \ln Z_N \]

  • 열역학적 극한에서 스핀당 자유에너지

\[ f= - k T \ln \lambda \] 여기서 \(\lambda= \lim_{N\to \infty } Z_N^{1/N}\)


정리 (온새거, 1944)

\[ \begin{aligned} \ln \lambda & = \ln{2 \cosh(2K)}+ {1\over 2\pi^2}\int_0^\pi\int_0^\pi\ln (1-4\kappa \cos \omega_1 \cos \omega_2)\, d\,\omega_1 d\,\omega_2 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}+ \frac{1}{2 \pi}\int_0^{\pi } \log \left( \frac{1+\sqrt{1-16 k^2 \cos ^2(\omega_1)}}{2}\right) \, d\,\omega_1 \\ & = \ln{2 \cosh(2K)}-\sum _{n=1}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{\kappa^{2 n}}{4 n} \end{aligned} \] 여기서 \(K=\frac{J}{2kT}\), \(2\kappa = \tanh(2K) \operatorname{sech}(2K)\)


관련된 항목들

사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Mohammed, Jahangir, and Swapna Mahapatra. “A Comparative Study of \(2d\) Ising Model at Different Boundary Conditions Using Cellular Automata.” arXiv:1601.00518 [cond-Mat, Physics:hep-Th], January 4, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.00518.
  • Viswanathan, G. M. ‘The Hypergeometric Series for the Partition Function of the 2-D Ising Model’. arXiv:1411.2495 [cond-Mat], 10 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2495.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'square'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lattice'}, {'LOWER': 'ising'}, {'LEMMA': 'model'}]
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