갈루아 이론

개요

• 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
• 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
• 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
• 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
• 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음

근의 공식

• 2차 방정식의 근의 공식
• \(ax^2+bx+c=0\)\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
• \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
• 3차, 4차 방정식의 근의 공식
• \(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0\)
• \(a,b,c,d,e,f\)
• \(\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots\)

풀수 있는 방정식

• 정오각형 항목에는 어떻게 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
• 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
  • 이를 위하여 \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
  • 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.

근의 치환

• 일반적으로 대칭군 (symmetric group)의 부분군을 치환군이라 부른다
• 방정식과 대칭성 : 치환군

다항식과 갈루아체확장

• (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
• 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
• 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
• 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
• 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨

체확장과 갈루아군

• 체 \(F\)와 그 체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)을 정의할 수 있음
  • \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
  • 자기동형사상이란 \(K\)에서 \(K\)에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
• 예) 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장
  • 방정식 \(x^2+1=0\) 의 해\(\{i,-i\}\)를 실수체 \(\mathbb{R}\)에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \(\mathbb{C}\) 를 만듦
  • \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\) 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 \(z\)에 대하여 \(\operatorname{id}(z)=z\)과 \(\sigma(z)=\bar{z}\)로 정의됨
  • \(\sigma(z)=\bar{z}\) 이므로 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다

방정식의 해가 가진 대칭성

• \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\)의 경우 \(\sigma\)는 복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
  • \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
• 이것을 일반화할 수 있음

정리

주어진 체 \(F\)의 원소를 계수로 갖는 기약다항식 \(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\)의 모든 해 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)를 모두 추가하여 만든 체확장 \(K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)을 생각하자. \(f\)의 해 \(\alpha\in K\)와 갈루아군 \(\operatorname{Gal}(K/F)\)의 원소 \(\sigma\)에 대하여 \(\sigma(\alpha)\)도 \(f\)의 해가 된다.

• 증명은 방정식과 대칭성 : 치환군 항목을 참조

예

• 위에서 본 유리수체\(\mathbb{Q}\)의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)
• 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\)를 어디로 보내는가에 따라 결정
• \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 는 유리계수방정식 \(x^3-2=0\)의 해이고, \(\omega\)와 \(\omega^2\)는 유리계수방정식 \(x^2+x+1=0\)의 해이기 때문

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & \operatorname{id} & \tau & \tau^2 & \sigma & \sigma\tau & \sigma\tau^2 \\ \hline \sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} \\ \hline \omega & \omega & \omega & \omega & \omega^2 & \omega^2 & \omega^2 \\ \end{array} \]

• \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 가 같이 움직이고,\(\omega\)와 \(\omega^2\)가 같이 움직임을 볼 수 있음
• \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\)이 됨
• 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재
  • 크기가 6인 순환군
  • 3개 원소로 이루어진 집합의 대칭군 (symmetric group)은 \(3!=6\) 개의 원소를 가짐
• \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다
  • 표를 이용하면 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\) 임을 알 수 있음
  • \(\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}\)이고, \(\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2\) 이므로 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\)
  • 따라서 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\) 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
  • 그러므로 \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3\)
• 요약
  • 방정식 \(x^3-2=0\) 으로부터 체확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)을 얻었고, \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 를 얻었음
  • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 의 원소들이 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\) 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.

갈루아 체확장

• transitivity와 fixed point free action 또는 \(\text{Gal}(K/F)=|K:F|\)
• 유한체
• 원분체 (cyclotomic field) 와 원분다항식(cyclotomic polynomial)

5차방정식에의 응용

• 다항식 \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)은 유리수체 위에서 5차의 기약다항식이다
• 두 개의 허근과 세 개의 실근이 존재
• 이는 갈루아 군이 \(S_5\)임을 의미

역사

• 수학사 연표

메모

• http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html
• Girstmair, Kurt. “Moebius Transforms and Cyclic Equations.” arXiv:1505.05976 [math], May 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1505.05976.

관련된 항목들

• 군론
• 체론(field theory)
• 대수적수론
• 작도문제와 구적가능성
  • 가우스와 정17각형의 작도
  • 그리스 3대 작도 불가능문제
    • 두배의 부피를 갖는 정육면체(The duplication of the cube)
  • 정다각형의 작도
  • 히포크라테스의 초승달

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/galois_theory

교양도서

• 톰 펫시니스 저/김연수 역, 프랑스 수학자 갈루아 1, 프랑스 수학자 갈루아 2 | 이끌리오
• Mario Livio, The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry

관련도서

• Lisl Gaal 1998 Classical Galois theory: with examples
• Harold M. Edwards (1984), Galois Theory, Springer-Verlag

리뷰, 에세이, 강의노트

• Determining the Galois Group of a Polynomial
• Galois Theory for Beginners
  • John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
• The Evolution of Group Theory: A Brief Survey
  • Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
• Galois and Group Theory
  • Garrett Birkhoff, Osiris, Vol. 3, (1937), pp. 260-268

관련논문

• Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez, Frank Sottile, Numerical computation of Galois groups, arXiv:1605.07806 [math.AG], May 25 2016, http://arxiv.org/abs/1605.07806
• Patsolic, Jesse, and Jeremy Rouse. “Trinomials Defining Quintic Number Fields.” arXiv:1512.09343 [math], December 31, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.09343.
• Ranjbar, Fariba, and Saeed Ranjbar. “Inverse Galois Problem and Significant Methods.” arXiv:1512.08708 [math], December 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.08708.
• http://arxiv.org/abs/1512.08708
• König, Joachim. “Computation of Hurwitz Spaces and New Explicit Polynomials for Almost Simple Galois Groups.” arXiv:1512.05533 [math], December 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.05533.
• Rivin, Igor. “Galois Groups of Generic Polynomials.” arXiv:1511.06446 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06446.
• Rogelstad, Michael L. “Combinatorial Techniques in the Galois Theory of \(p\)-Extensions.” arXiv:1508.02274 [math], August 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02274.
• Huang, Hau-Wen, and Wen-Ching Winnie Li. “A Unified Approach to the Galois Closure Problem.” arXiv:1507.04433 [math], July 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.04433.
• Zywina, David. “The Inverse Galois Problem for Orthogonal Groups.” arXiv:1409.1151 [math], September 3, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.1151.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q92552

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'galois'}, {'LEMMA': 'theory'}]