"다항식의 판별식(discriminant)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
  
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*  n차 다항식의 근을 <math>x_1,\cdots, x_n</math> 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다<br><math>(\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i))^2</math><br>
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*  n차 다항식의 근을 <math>x_1,\cdots, x_n</math> 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다 :<math>\left(\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i)\right)^2</math>
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* [[교대다항식(alternating polynomial)]] 의 곱이므로 [[대칭군과 대칭다항식|대칭다항식]] 이 되며, [[근과 계수와의 관계|근과 계수와의 관계]]다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다
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* [[교대다항식(alternating polynomial)]] 의 곱이므로 [[대칭군과 대칭다항식|대칭다항식]] 이 되며, [[근과 계수와의 관계|근과 계수와의 관계]]를 이용하여 다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다
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* [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)|반데몬드 행렬식]] 의 제곱과 같다
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==2차식의 판별식==
 
==2차식의 판별식==
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* 이차식 <math>x^2+bx+c</math>
 
* 이차식 <math>x^2+bx+c</math>
 
* [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]] 을 생각하자
 
* [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]] 을 생각하자
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:<math>\left( \begin{array}{cc}  1 & 1 \\  x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc}  1 & x_1 \\  1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}  2 & x_1+x_2 \\  x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)</math>
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<math>\left( \begin{array}{cc}  1 & 1 \\  x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc}  1 & x_1 \\  1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}  2 & x_1+x_2 \\  x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)</math> 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.
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* 이 행렬의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.
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* [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식]] 을 이용하면, 이 행렬은  
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[[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식]] 을 이용하면,
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:<math>\left( \begin{array}{cc}  2 & -b \\  -b & b^2-2 c \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>b^2-4 c</math> 이다.
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* 행렬식 <math>b^2-ac</math>는 이차형식이며, 다음의 대칭행렬에 대응된다
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이 행렬은 <math>\left( \begin{array}{cc}  2 & -b \\  -b & b^2-2 c \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>b^2-4 c</math> 이다.
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:<math>
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  0 & 0 & -\frac{1}{2} \\
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* 이 행렬의 대각화에 대해서는 [[대칭행렬의 대각화]] 항목을 참조
  
 
==3차식의 판별식==
 
==3차식의 판별식==
  
 
* 다항식 <math>x^3+ax+b</math> 를 생각하자.
 
* 다항식 <math>x^3+ax+b</math> 를 생각하자.
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*  판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  1 & 1 & 1 \\  x_1 & x_2 & x_3 \\  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}  1 & x_1 & x_1^2 \\  1 & x_2 & x_2^2 \\  1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc}  3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\  x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\  x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)</math><br>
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*  판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.:<math>\left( \begin{array}{ccc}  1 & 1 & 1 \\  x_1 & x_2 & x_3 \\  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}  1 & x_1 & x_1^2 \\  1 & x_2 & x_2^2 \\  1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc}  3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\  x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\  x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)</math>
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* [[근과 계수와의 관계]] 에 따라<br><math>x_1+x_2+x_3=0</math><br><math>x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a</math><br><math>x_1 x_2 x_3=-b</math><br>
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* [[근과 계수와의 관계]] 에 따라:<math>x_1+x_2+x_3=0</math>:<math>x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a</math>:<math>x_1 x_2 x_3=-b</math>
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* [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식]] 을 사용하자<br><math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a</math><br><math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b</math><br><math>x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2</math><br>
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* [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식]] 을 사용하자:<math>x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a</math>:<math>x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b</math>:<math>x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2</math>
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*  위의 행렬은<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  3 & 0 & -2 a \\  0 & -2 a & -3 b \\  -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>-4 a^3-27 b^2</math> 가 된다<br>
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*  위의 행렬은:<math>\left( \begin{array}{ccc}  3 & 0 & -2 a \\  0 & -2 a & -3 b \\  -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)</math> 이며, 행렬식은 <math>-4 a^3-27 b^2</math> 가 된다
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==역사==
 
==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
 
   
 
   
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMmQ2Njc4ZjAtODZjMy00ZmFmLWExOTYtZjM4MGFkOWNlNDU4&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMmQ2Njc4ZjAtODZjMy00ZmFmLWExOTYtZjM4MGFkOWNlNDU4&sort=name&layout=list&num=50
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]<br>
 
−
** [http://dlmf.nist.gov/1.11 §1.11 Zeros of Polynomials]
 
−
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
−
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
−
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
  
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==수학용어번역==
 
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*  단어사전<br>
 
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** http://translate.google.com/#en|ko|
 
−
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
 
* http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
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[[분류:대칭다항식]]
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
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==관련논문==
 
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://www.ams.org/mathscinet
 
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* http://dx.doi.org/
 
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==관련도서==
 
  
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*  도서내검색<br>
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==메타데이터==
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** http://books.google.com/books?q=
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===위키데이터===
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q192487 Q192487]
 +
===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'discriminant'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:01 기준 최신판

개요

2차식의 판별식

\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\]

\[\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\] 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) 이다.

  • 행렬식 \(b^2-ac\)는 이차형식이며, 다음의 대칭행렬에 대응된다

\[ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

3차식의 판별식

  • 다항식 \(x^3+ax+b\) 를 생각하자.
  • 판별식은 다음 행렬의 행렬식으로 생각할 수 있다.\[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\ x_1+x_2+x_3 & x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & x_1^3+x_2^3+x_3^3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \end{array} \right)\]
  • 근과 계수와의 관계 에 따라\[x_1+x_2+x_3=0\]\[x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=a\]\[x_1 x_2 x_3=-b\]
  • 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 사용하자\[x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2a\]\[x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3b\]\[x_1^4+x_2^4+x_3^4=2a^2\]
  • 위의 행렬은\[\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & -2 a \\ 0 & -2 a & -3 b \\ -2 a & -3 b & 2 a^2 \end{array} \right)\] 이며, 행렬식은 \(-4 a^3-27 b^2\) 가 된다


역사



메모



관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'discriminant'}]
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