"드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
  
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* <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.
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(정리) 드 무아브르
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* <math>z^3=1</math> 의 해는, <math>1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}</math> 세 개가 있다.
 
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여기서 <math>\theta</math> 는 임의의 실수, <math>n</math> 은 임의의 정수
  
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==증명==
  
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* 수학적 귀납법
  
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==오일러의 정리를 통한 증명==
  
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* [[오일러의 공식]]
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* 복소지수함수 <math>e^{i\theta}=\cos \theta+ i\sin \theta</math>  의 성질에서 자연스럽게 유도
  
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* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
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<math>(\cos \theta+ i\sin \theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}= \cos n\theta+ i\sin n\theta</math>
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** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
 
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==정다각형과의 관계==
  
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<h5>관련된 단원</h5>
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* <math>z^n=1</math> 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다. 방정식을 풀기 위해, <math>z=\cos \theta + i \sin \theta</math> 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.:<math>(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1</math>:<math>\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1</math> 
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* <math>z^3=1</math> 의 해는, <math>1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}</math> 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.[[파일:3002568-img602.gif]]
  
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* [[복소수]]
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<h5>많이 나오는 질문</h5>
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==많이 나오는 질문==
  
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*  네이버 지식인<br>
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*  네이버 지식인
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** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
  
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* 삼각함수
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* [[복소수]]
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* [[추상대수학]]
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* [[복소함수론]]
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[정다각형의 작도]]
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* [[정오각형]]
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* [[가우스와 정17각형의 작도]]
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* [[수학사 연표]]
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* [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]]
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* [[정규분포와 그 확률밀도함수|정규분포와 중심극한정리]]
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
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* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
  
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==사전형태의 자료==
  
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<h5>동영상 강좌</h5>
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/복소수]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre
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<h5>관련기사</h5>
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==관련기사==
  
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네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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[[분류:리만곡면론]]
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[[분류:복소함수론]]
  
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* [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=복소수]
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==메타데이터==
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* http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q200397 Q200397]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'abraham'}, {'LOWER': 'de'}, {'LEMMA': 'Moivre'}]
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* [{'LEMMA': 'Feo'}]
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* [{'LOWER': 'abraham'}, {'LEMMA': 'Demoivre'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:03 기준 최신판

개요

(정리) 드 무아브르

\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)

여기서 \(\theta\) 는 임의의 실수, \(n\) 은 임의의 정수



증명

  • 수학적 귀납법



오일러의 정리를 통한 증명

  • 오일러의 공식
  • 복소지수함수 \(e^{i\theta}=\cos \theta+ i\sin \theta\) 의 성질에서 자연스럽게 유도

\((\cos \theta+ i\sin \theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}= \cos n\theta+ i\sin n\theta\)





정다각형과의 관계

  • \(z^n=1\) 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다. 방정식을 풀기 위해, \(z=\cos \theta + i \sin \theta\) 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.\[(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1\]\[\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1\]
  • \(z^3=1\) 의 해는, \(1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.3002568-img602.gif



많이 나오는 질문


관련된 고교수학 또는 대학수학



관련된 항목들



사전형태의 자료



관련기사

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'abraham'}, {'LOWER': 'de'}, {'LEMMA': 'Moivre'}]
  • [{'LEMMA': 'Feo'}]
  • [{'LOWER': 'abraham'}, {'LEMMA': 'Demoivre'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=드_무아브르의_정리,_복소수와_정다각형&oldid=52233"