"디리클레 L-함수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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* 리만제타함수의 일반화
 
* 리만제타함수의 일반화
−
*  primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) [[디리클레 캐릭터]]<math>\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.:<math>L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br>
+
*  primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) [[디리클레 캐릭터]]<math>\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.:<math>L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math>
−
*  위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]]과 [[유한군의 표현론]] 항목을 참조<br>
+
*  위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]]과 [[유한군의 표현론]] 항목을 참조
  
  
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==예==
 
==예==
  
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* [[리만제타함수]]는 <math>q=1</math>,  <math>\chi=1</math> 인 경우에 해당
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* [[리만제타함수]]는 <math>q=1</math>, <math>\chi=1</math> 인 경우에 해당
−
* [[디리클레 베타함수]]  <math>q=4</math>, <math>\chi(1)=1</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우
+
* [[디리클레 베타함수]] <math>q=4</math>, <math>\chi(1)=1</math>, <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우
−
*  이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식
+
*  이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식
−
* <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>
+
* <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>
−
* 다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 <math>K</math>를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 [[데데킨트 제타함수]] 항목을 참조:<math>L_{d_K}(s):=L(s, \chi)</math>
+
* 다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 <math>K</math>를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 [[데데킨트 제타함수]] 항목을 참조:<math>L_{d_K}(s):=L(s, \chi)</math>
  
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==해석적 확장==
 
==해석적 확장==
  
−
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]를 통한 방법이 있음<br>
+
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]를 통한 방법이 있음
−
* [[리만제타함수]]의 해석적확장과 같이 멜린변환을 이용할 수 있음<br>
+
* [[리만제타함수]]의 해석적확장과 같이 멜린변환을 이용할 수 있음
−
* [[감마함수]]
+
* [[감마함수]]의 성질
−
:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>
 
−
의 성질
 
 
:<math>\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}</math>
 
:<math>\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}</math>
 
을 이용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다
 
을 이용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다
−
:<math>\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}</math><br>
+
:<math>\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}</math>
−
* <math>g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(q-1)y^{n-1}</math> 으로 두면,:<math>\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^q}, \quad 0<y<1</math><br>
+
* <math>g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(q-1)y^{q-1}</math> 으로 두면,
−
* <math>g(y)</math>는 <math>y</math>와 <math>1-y</math>를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 <math>h(y)</math>에 대하여 <math>g(y)=y(1-y)h(y)</math>로 표현가능:<math>\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{q-1}})=yk(y)</math><br> 여기서 <math>k(y)</math>는 <math>C^{\infty}([0,1])</math>이고 유계가 됨<br>
+
:<math>\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^q}, \quad 0<y<1</math>
−
*  디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴:<math>L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}</math><br>
+
* <math>g(y)</math>는 <math>y</math>와 <math>1-y</math>를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 <math>h(y)</math>에 대하여 <math>g(y)=y(1-y)h(y)</math>로 표현가능:<math>\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{q-1}})=yk(y)</math>
 +
여기서 <math>k(y)</math>는 <math>C^{\infty}([0,1])</math>이고 유계가 됨
 +
*  디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴:<math>L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}</math>
 
* 위의 식에서 <math>l(t)</math>와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, [[감마함수]]의 해석적확장에서와 마찬가지로, <math>\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}</math>는 <math>s=0,-1,-2,\cdots</math>에서 단순 pole을 갖게 된다.
 
* 위의 식에서 <math>l(t)</math>와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, [[감마함수]]의 해석적확장에서와 마찬가지로, <math>\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}</math>는 <math>s=0,-1,-2,\cdots</math>에서 단순 pole을 갖게 된다.
 
* 따라서 <math>L(s, \chi)</math>는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨
 
* 따라서 <math>L(s, \chi)</math>는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨
  
−
 
+
  
−
 
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==함수방정식==
 
==함수방정식==
  
−
*  L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의:<math>\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)</math><br>
+
*  L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의:<math>\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)</math>
−
*  다음 함수방정식을 만족시킴:<math>\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)</math><br>
+
*  다음 함수방정식을 만족시킴:<math>\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)</math>
 
*  위에서 사용된 기호에 대한 설명:<math>a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}</math>
 
*  위에서 사용된 기호에 대한 설명:<math>a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}</math>
−
** <math>\chi(-1)=-1</math> 이면  <math>a_{\chi}=1</math>
+
** <math>\chi(-1)=-1</math> 이면  <math>a_{\chi}=1</math>
 
** <math>\chi(-1)=1</math> 이면 <math>a_{\chi}=0</math>
 
** <math>\chi(-1)=1</math> 이면 <math>a_{\chi}=0</math>
 
** <math>\Gamma(s)</math>는 [[감마함수]]
 
** <math>\Gamma(s)</math>는 [[감마함수]]
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===예1===
 
===예1===
−
* [[디리클레 베타함수]]의 경우<br>
+
* [[디리클레 베타함수]]의 경우
−
** <math>q=4</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math>, <math>a_{\chi}=1</math> 인 경우에 해당<br>
+
** <math>q=4</math>, <math>\chi(-1)=-1</math>, <math>a_{\chi}=1</math> 인 경우에 해당
−
** <math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math><br>
+
** <math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math>
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**  가우스합은 <math>\tau(\chi)=2i</math>이므로 함수방정식은 다음과 같음:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math><br>
+
**  가우스합은 <math>\tau(\chi)=2i</math>이므로 함수방정식은 다음과 같음:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>
  
 
===예2===
 
===예2===
−
* <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math><br>
+
* <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math>
−
** <math>q=3</math>, <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math>, <math>a_{\chi}=1</math> 인 경우에 해당<br>
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** <math>q=3</math>, <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>, <math>\chi(-1)=-1</math>, <math>a_{\chi}=1</math> 인 경우에 해당
−
** <math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)</math><br>
+
** <math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)</math>
−
**  가우스합은 <math>\tau(\chi)=\sqrt{3}i</math> 이므로 함수방정식은 다음과 같음:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math><br>
+
**  가우스합은 <math>\tau(\chi)=\sqrt{3}i</math> 이므로 함수방정식은 다음과 같음:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>
  
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−
 
−
==s=1 에서의 값  <math>L(1,\chi)</math>==
 
−
 
−
* <math>s=1</math> 에서의 값이 중요한 이유<br>
 
−
** <math>\chi\neq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\neq 0 </math> 임을 보여 [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]를 증명하였다<br>
 
−
**  이차수체 <math>K</math>의 경우 <math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음<br>
 
−
*  일반적으로 <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 <math>L(1,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어짐
 
−
:<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})</math><br>
 
−
*  여기서 <math>\tau(\chi)</math>에 대해서는 [[가우스 합]] 항목 참조
 
−
:<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}</math>
 
−
:<math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math><br>
 
−
*  좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음<br>
 
−
** <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우
 
−
:<math>L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a) a\label{L1odd}</math>
 
−
** <math>\chi(-1)=1</math> 인 경우
 
−
:<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})</math>
 
−
 
−
 
−
 
 
−
===이차잉여 준동형사상에 대한 <math>L(1,\chi)</math>===
 
−
 
−
이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식
 
−
 
−
<math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> 은 다음 조건에 의해 유일하게 결정됨
 
−
 
−
 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>q \geq 2</math> 는 소수라 가정하자.
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math>, <math>q \geq 3</math> , <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우
 
−
 
−
<math>d_K=-q</math>
 
−
 
−
<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>
 
−
 
−
<math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=i\sqrt{q}</math>
 
−
 
−
<math>L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})</math> , <math>q \geq 5</math>,   <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우
 
−
 
−
<math>d_K=q</math>
 
−
 
−
<math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>
 
−
 
−
<math>\chi(-1)=1</math>, <math>\tau(\chi)=\sqrt{q}</math>
 
−
 
−
<math>L(1,\chi)=-\frac{\sqrt{q}}{q}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{q})</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math>  , <math>q \geq 1</math> ,  <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우
 
−
 
−
<math>d_K=-4q</math>
 
−
 
−
<math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=2i\sqrt{q}</math>
 
−
 
−
소수 <math>p \neq 2 , q</math>에 대하여
 
−
 
−
<math>p \equiv 1 \pmod{4}</math>이면
 
−
 
−
<math>\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)</math>
 
−
 
−
<math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>이면
 
−
 
−
<math>\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)</math>
 
−
 
−
따라서
 
−
 
−
<math>\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)</math>
 
−
 
−
일반적인
 
−
 
−
<math>n\in \mathbb{Z}</math>, <math>(n,4q)=1</math> 에 대해서는
 
−
 
−
<math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)</math>
 
−
 
−
<math>L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right) a</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})</math> , <math>q \geq 3</math>,   <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우
 
−
 
−
<math>d_K=4q</math>
 
−
 
−
<math>\chi(-1)=1</math>, <math>\tau(\chi)=2\sqrt{q}</math>
 
−
 
−
소수 <math>p \neq 2 , q</math>에 대하여
 
−
 
−
<math>p \equiv 1 \pmod{4}</math>이면
 
−
 
−
<math>\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)</math>
 
−
 
−
<math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>이면
 
−
 
−
<math>\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)</math>
 
−
 
−
따라서
 
−
 
−
<math>\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)</math>
 
−
 
−
일반적인
 
−
 
−
<math>n\in \mathbb{Z}</math>, <math>(n,4q)=1</math> 에 대해서는
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)</math>
 
−
 
−
<math>L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
===이차잉여에의 응용===
 
−
 
−
7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 와  <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
 
−
 
−
<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 라 두면, <math>d_K=-p</math>이며  <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)</math> 는  <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시킨다. 
 
−
 
−
<math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 이므로  <math>\chi(-1)=-1</math>이고, \ref{L1odd}로부터
 
−
:<math>L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}</math>
 
−
를 얻고, 다른 한편으로 [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]]으로부터
 
−
:<math>L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}</math>
 
−
 
−
을 얻는다.
 
−
 
−
[[가우스 합]]은 <math>\tau (\chi)=i\sqrt p</math> 이므로 위의 두 값을 비교하면, 
 
−
:<math>h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}</math>
 
−
 
−
이로부터 소수 <math>p</math>에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
 
−
 
−
 
 
−
 
−
==<math>s=0,-1,-2,\cdots</math>  음의 정수일 때의 값==
 
−
 
−
<math>n\geq 1</math> 이라 하자. 일반적으로 <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 <math>L(1-n,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어진다
 
−
:<math>L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})</math>
 
−
 
−
여기서 <math>B_n(x)</math> 는 [[베르누이 다항식]](<math>B_0(x)=1</math>, <math>B_1(x)=x-1/2</math>, <math>B_2(x)=x^2-x+1/6</math>, <math>\cdots</math>)
 
−
 
−
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]과 비교<br>
 
−
** <math>\zeta(1-n)=-\frac{B_{n}}{n}, n \ge 1</math><br>
 
  
 +
==<math>L(1,\chi)의 값</math>==
 +
* <math>s=1</math> 에서의 값이 중요한 이유
 +
** <math>\chi\neq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\neq 0 </math> 임을 보여 [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]를 증명하였다
 +
**  이차수체 <math>K</math>의 경우 <math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음
 +
* [[디리클레 L-함수의 special values]] 항목 참조
  
  
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:<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math>
 
:<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math>
 
* 예
 
* 예
−
:<math>L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math><br>
+
:<math>L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math>
  
  
248번째 줄: 91번째 줄:
 
* L(1/2) 의 값은?
 
* L(1/2) 의 값은?
  
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+
  
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+
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
 
* [[디리클레 L-함수의 미분]]
 
* [[디리클레 L-함수의 미분]]
 
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]
 
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]
−
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
+
* [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]]
 
* [[가우스 합]]
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* Harold Davenport, [http://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC Multiplicative Number Theory] (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)
 
* Harold Davenport, [http://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC Multiplicative Number Theory] (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)
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==관련논문==
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* Khan, Rizwanur, and Hieu T. Ngo. “Nonvanishing of Dirichlet L-Functions.” arXiv:1512.04030 [math], December 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04030.
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* Omar, Sami, Raouf Ouni, and Kamel Mazhouda. “On the Zeros of Dirichlet <math>L</math>-Functions.” arXiv:1507.03431 [math], July 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03431.
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* Veklych, Bogdan. ‘A One-Formula Proof of the Nonvanishing of L-Functions of Real Characters at 1’. arXiv:1412.5162 [math], 15 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.5162.
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* Mathar, Richard J. “Table of Dirichlet L-Series and Prime Zeta Modulo Functions for Small Moduli.” arXiv:1008.2547 [math], August 15, 2010. http://arxiv.org/abs/1008.2547.
  
  
 
[[분류:정수론]]
 
[[분류:정수론]]
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[[분류:특수함수]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1773226 Q1773226]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'siegel'}, {'LEMMA': 'zero'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:03 기준 최신판

개요

  • 리만제타함수의 일반화
  • primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 디리클레 캐릭터\(\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\]
  • 위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 순환군의 표현론과 유한군의 표현론 항목을 참조


예

  • 리만제타함수는 \(q=1\), \(\chi=1\) 인 경우에 해당
  • 디리클레 베타함수 \(q=4\), \(\chi(1)=1\), \(\chi(-1)=-1\) 인 경우
  • 이차수체 \(K\), \(d_K\)는 판별식
  • \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)
  • 다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 \(K\)를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 데데킨트 제타함수 항목을 참조\[L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\]



해석적 확장

\[\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}\] 을 이용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다 \[\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}\]

  • \(g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(q-1)y^{q-1}\) 으로 두면,

\[\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^q}, \quad 0<y<1\]

  • \(g(y)\)는 \(y\)와 \(1-y\)를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 \(h(y)\)에 대하여 \(g(y)=y(1-y)h(y)\)로 표현가능\[\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{q-1}})=yk(y)\]

여기서 \(k(y)\)는 \(C^{\infty}([0,1])\)이고 유계가 됨

  • 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴\[L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}\]
  • 위의 식에서 \(l(t)\)와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, 감마함수의 해석적확장에서와 마찬가지로, \(\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}\)는 \(s=0,-1,-2,\cdots\)에서 단순 pole을 갖게 된다.
  • 따라서 \(L(s, \chi)\)는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨



함수방정식

  • L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의\[\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)\]
  • 다음 함수방정식을 만족시킴\[\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)\]
  • 위에서 사용된 기호에 대한 설명\[a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}\]
    • \(\chi(-1)=-1\) 이면 \(a_{\chi}=1\)
    • \(\chi(-1)=1\) 이면 \(a_{\chi}=0\)
    • \(\Gamma(s)\)는 감마함수
    • \(\tau(\chi)=\sum_{(j,q)=1}\chi(j)e^{2\pi i j/q}\)는 가우스합

예1

  • 디리클레 베타함수의 경우
    • \(q=4\), \(\chi(-1)=-1\), \(a_{\chi}=1\) 인 경우에 해당
    • \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\)
    • 가우스합은 \(\tau(\chi)=2i\)이므로 함수방정식은 다음과 같음\[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]

예2

  • \(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
    • \(q=3\), \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\), \(\chi(-1)=-1\), \(a_{\chi}=1\) 인 경우에 해당
    • \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)\)
    • 가우스합은 \(\tau(\chi)=\sqrt{3}i\) 이므로 함수방정식은 다음과 같음\[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]


\(L(1,\chi)의 값\)


\(L'(1,\chi)\) 의 값

\[L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\]

\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]

  • 예

\[L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\]


역사


메모




관련된 항목들

사전 형태의 자료



관련도서


관련논문

  • Khan, Rizwanur, and Hieu T. Ngo. “Nonvanishing of Dirichlet L-Functions.” arXiv:1512.04030 [math], December 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04030.
  • Omar, Sami, Raouf Ouni, and Kamel Mazhouda. “On the Zeros of Dirichlet \(L\)-Functions.” arXiv:1507.03431 [math], July 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03431.
  • Veklych, Bogdan. ‘A One-Formula Proof of the Nonvanishing of L-Functions of Real Characters at 1’. arXiv:1412.5162 [math], 15 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.5162.
  • Mathar, Richard J. “Table of Dirichlet L-Series and Prime Zeta Modulo Functions for Small Moduli.” arXiv:1008.2547 [math], August 15, 2010. http://arxiv.org/abs/1008.2547.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'siegel'}, {'LEMMA': 'zero'}]
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