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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[모든 자연수의 합과 리만제타함수]]
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* [[리만제타함수]] 함수의 -1에서의 값
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:<math>\zeta(-1)= -\frac{1}{12}</math>
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<h5>개요</h5>
 
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* [[리만제타함수]] 함수의 -1에서의 값
 
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<math>\zeta(-1)= -\frac{1}{12}</math>
 
  
 
* 다음과 같은 (물리적?) 해석이 가능
 
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:<math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  \cdots = -\frac{1}{12}</math>
  
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<math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}</math>
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==증명==
  
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<h5>증명</h5>
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리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다.
  
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리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다.
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:<math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math>
  
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<math>\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)</math>
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:<math>\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)</math>
  
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<math>\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)</math>
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여기에 <math>s=-1</math> 을 대입하면, 다음을 얻는다.
  
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여기에 <math>s=-1</math> 을 대입하면, 다음을 얻는다.
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:<math>\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}</math>. ■
  
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<math>\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}</math>. ■
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==물리학적(?) 증명==
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(증명) 테일러정리에 의하면,
  
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본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.<br> 그러므로,
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본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음. 그러므로,
  
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:<math>S=1+2+3+4+\cdots</math>
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:<math>1-2+3-4+5-6+\cdots+4S=1+2+3+4+5+6+\cdots = S</math>
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:<math>\sum_{n=1}^{\infty}n=1+2+3+4+\cdots = \frac{-1}{12}</math>
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조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.
 
조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.
  
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==관련된 항목들==
  
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
 
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
  
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
−
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
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* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEdnNm9Ddy1seUk/edit?pli=1
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
  
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<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
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==블로그==
  
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<h5>블로그</h5>
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* [http://motls.blogspot.com/2007/09/zeta-function-regularization.html Zeta-function regularization] The Reference Frame, 2007-9-18
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[[분류:리만 제타 함수]]
  
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* [http://motls.blogspot.com/2007/09/zeta-function-regularization.html Zeta-function regularization] The Reference Frame, 2007-9-18
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2605420 Q2605420]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': '1'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '2'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '3'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '4'}, {'LOWER': '+'}, {'LEMMA': '…'}]
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2021년 2월 17일 (수) 05:42 기준 최신판

개요

\[\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\]

  • 다음과 같은 (물리적?) 해석이 가능

\[\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\]



증명

리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다.

\[\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\]

\[\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)\]

여기에 \(s=-1\) 을 대입하면, 다음을 얻는다.

\[\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}\]. ■




물리학적(?) 증명

보조정리

\[1-2+3 -4 +5-6+\cdots = \frac{1}{4}\]

(증명) 테일러정리에 의하면,

\[x-2 x^2+3 x^3-4 x^4+\cdots = \frac{x}{(1+x)^2}\]

본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음. 그러므로,

\[S=1+2+3+4+\cdots\]

\[2S=2+4+6+8+\cdots\]

\[4S=2(2+4+6+8+\cdots)\]



그러므로,

\[1-2+3-4+5-6+\cdots+4S=1+2+3+4+5+6+\cdots = S\]

따라서,

\[-3S=1-2+3-4+5-6+\cdots\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}n=1+2+3+4+\cdots = \frac{-1}{12}\]


조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.



관련된 항목들



사전 형태의 자료



매스매티카 파일 및 계산 리소스



리뷰논문, 에세이, 강의노트

블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': '1'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '2'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '3'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '4'}, {'LOWER': '+'}, {'LEMMA': '…'}]
  • [{'LOWER': '1'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '2'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '3'}, {'LOWER': '+'}, {'LOWER': '4'}, {'LOWER': '+'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': '+'}, {'LEMMA': 'n'}]
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