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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[미분형식과 맥스웰 방정식|맥스웰 방정식과 미분형식]]
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* 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
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*  이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
  
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<h5>개요</h5>
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==포벡터 포텐셜 1-form==
  
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* [[전자기 포텐셜과 맥스웰 방정식|포벡터 포텐셜]] 을 1-form 으로 이해할 수 있다
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* <math>(A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})</math>
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* electromagnetic field strength<br><math>F=\left( \begin{array}{cccc}  0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\  \frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\  \frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\  \frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{array} \right)</math><br>
 
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*  다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음<br><math>F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}</math><br><math>F=E_1 d x_1\wedge d t+B_3 d x_1\wedge d x_2+E_2 d x_2\wedge d t+B_1 d x_2\wedge d x_3+E_3 d x_3\wedge d t+B_2 d x_3\wedge d x_1</math><br>
 
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*  맥스웰방정식은 미분형식 F 에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다<br>
 
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*  이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다<br>
 
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* <math>F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F</math><br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">four 벡터 포텐셜 1-form</h5>
 
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* <math>(A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})</math><br><math>\phi</math> 스칼라 포텐셜<br><math>\mathbf{A}</math> 벡터 포텐셜<br>
 
 
* 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math>
 
* 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math>
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* <math>F=dA</math> 로부터 <math>dF=0</math> 를 얻는다
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">Hodge star 연산자</h5>
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* <math>\star dx dy =-dzdt</math><br>
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* <math>\star dy dz =-dxdt</math><br>
 
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* <math>\star dz dx =-dydt</math><br>
 
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* <math>\star dx dt =dydz</math><br>
 
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* <math>\star dy dt =dzdx</math><br>
 
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* <math>\star dz dt=dxdy</math><br>
 
  
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==전자기 텐서 2-form==
  
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* [[전자기 텐서와 맥스웰 방정식|전자기 텐서]]<math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!</math>:<math>F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 &  \frac{E_x}{c} &  \frac{E_y}{c} &  \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c}  & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)</math>
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* [[전자기 텐서와 맥스웰 방정식|전자기 텐서와 맥스웰 방정식]] 전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음:<math>F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}</math>:<math>F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y</math>
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* <math>F=dA</math> 이며, 따라서 <math>dF=0</math> 를 얻는다
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*  이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다:<math>F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F</math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">전류 4-vector</h5>
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* 전하 밀도<math>{\rho} </math> (for point charge, density will be a Dirac delta function)
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* 전류 밀도<math>\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)</math>
 
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* 전류 4-vector<br><math>(J^a) = \left( \rho, \mathbf{J} \right)</math><br>
 
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*  가우스법칙과 앙페르-패러데이 법칙에 나타남<br><math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math><br><math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math><br>
 
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*  four vector is called a conserved current if <math>\partial_{a}J^{a}=0</math><br>
 
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** [[연속 방정식]]<br>
 
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*  미분형식으로 표현하면,<br>
 
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**  1-form <math>J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz</math><br>
 
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**  dual 3-form <math>\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt </math><br>
 
  
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==Hodge star 연산자==
  
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* <math>\star dx dy =-dzdt</math>
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* <math>\star dy dz =-dxdt</math>
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* <math>\star dz dx =-dydt</math>
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* <math>\star dx dt =dydz</math>
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* <math>\star dy dt =dzdx</math>
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* <math>\star dz dt=dxdy</math>
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*  전자기 텐서의 dual:<math>F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y</math>:<math>\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t</math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">맥스웰 방정식의 미분형식 표현</h5>
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* [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다<br><math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>)<br><math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>,  <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ </math>)<br>
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==전류 4-vector==
  
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*  미분형식으로 표현하면,
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**  1-form <math>J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz</math>
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**  dual 3-form <math>\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt </math>
  
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<h5>역사</h5>
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==맥스웰 방정식의 미분형식 표현==
  
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[맥스웰 방정식]] 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>dF=0</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>, <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>):<math>d{\star F}=\star J</math> (<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}</math>,  <math>\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>)
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* 단위는 <math>\mu_0 \varepsilon_0=c=1</math> 이 되도록 선택
  
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<h5>메모</h5>
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==메모==
  
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==관련된 항목들==
  
 
* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra]]
 
* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra]]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
 
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* 단어사전<br>
 
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** http://translate.google.com/#en|ko|
 
−
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Differential_forms_approach
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
  
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<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
  
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* [http://users.aims.ac.za/%7Esolomon/akason.pdf Maxwell's Equations in Terms of Differential Forms]
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* [http://www.math.purdue.edu/%7Edvb/preprints/diffforms.pdf Introduction to differential forms]
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* [http://www.math.sunysb.edu/%7Ebrweber/401s09/coursefiles/ElectromagneticNotes.pdf Notes on Electrodynamics]
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* 슬라이드 [https://www.nottingham.ac.uk/ggiemr/downloads/GCEM.pdf Geometrical Concepts in Teaching Electromagnetics]
  
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* [http://www22.pair.com/csdc/pd2/pd2fre21.htm Maxwell Theory and Differential Forms]
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** [http://www22.pair.com/csdc/pdf/maxwell.pdf http://www22.pair.com/csdc/]
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** [http://www22.pair.com/csdc/pdf/maxwell.pdf Maxwell Faraday and Maxwell Ampere Equations]
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* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.117.7828&rep=rep1&type=pdf Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Dierential Forms]
  
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<h5>관련논문</h5>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://www.ams.org/mathscinet
 
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* http://dx.doi.org/
 
  
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<h5>관련도서</h5>
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[[분류:수리물리학]]
  
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*  도서내검색<br>
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==메타데이터==
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** http://books.google.com/books?q=
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===위키데이터===
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q6786849 Q6786849]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'mathematical'}, {'LOWER': 'descriptions'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'electromagnetic'}, {'LEMMA': 'field'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

  • 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
  • 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다



포벡터 포텐셜 1-form

  • 포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
  • \((A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\)
  • 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)



전자기 텐서 2-form

  • 전자기 텐서\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)\[F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\]
  • 전자기 텐서와 맥스웰 방정식 전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음\[F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\]\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]
  • \(F=dA\) 이며, 따라서 \(dF=0\) 를 얻는다
  • 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다\[F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\]



Hodge star 연산자

  • \(\star dx dy =-dzdt\)
  • \(\star dy dz =-dxdt\)
  • \(\star dz dx =-dydt\)
  • \(\star dx dt =dydz\)
  • \(\star dy dt =dzdx\)
  • \(\star dz dt=dxdy\)
  • 전자기 텐서의 dual\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]\[\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\]



전류 4-vector

  • 미분형식으로 표현하면,
    • 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
    • dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)



맥스웰 방정식의 미분형식 표현

  • 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다\[dF=0\] (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))\[d{\star F}=\star J\] (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}\), \(\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\))
  • 단위는 \(\mu_0 \varepsilon_0=c=1\) 이 되도록 선택



메모



관련된 항목들




사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'mathematical'}, {'LOWER': 'descriptions'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'electromagnetic'}, {'LEMMA': 'field'}]
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