미분형식과 맥스웰 방정식

수학노트
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개요

  • 전자기 텐서와 4-current 를 미분형식으로 표현할 수 있다
  • 이 때, 맥스웰방정식은 미분형식에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다

 

 

포벡터 포텐셜 1-form

  • 포벡터 포텐셜 을 1-form 으로 이해할 수 있다
  • \((A_{\alpha})= \left(\phi/c, -\mathbf{A} \right)=(\phi/c,-A_{x},-A_{y},-A_{z})\)
  • 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)

 

 

전자기 텐서 2-form

  • 전자기 텐서\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)\[F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\]
  • 전자기 텐서와 맥스웰 방정식
    전자기 텐서를 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음\[F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\]\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]
  • \(F=dA\) 이며, 따라서 \(dF=0\) 를 얻는다
  • 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다\[F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\]

 

 

Hodge star 연산자

  • \(\star dx dy =-dzdt\)
  • \(\star dy dz =-dxdt\)
  • \(\star dz dx =-dydt\)
  • \(\star dx dt =dydz\)
  • \(\star dy dt =dzdx\)
  • \(\star dz dt=dxdy\)
  • 전자기 텐서의 dual\[F=E_x d x\wedge d t+E_y d y\wedge d t+E_z d z\wedge d t+B_x d y\wedge d z+B_y d z\wedge d x+B_z d x\wedge d y\]\[\star F=E_x d y\wedge d z+E_y d z\wedge d x+E_z d x\wedge d y-B_x d x\wedge d t-B_y d y\wedge d y-B_z d z\wedge d t\]

 

 

전류 4-vector

  • 미분형식으로 표현하면,
    • 1-form \(J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz\)
    • dual 3-form \(\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt \)

 

 

맥스웰 방정식의 미분형식 표현

  • 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다\[dF=0\] (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))\[d{\star F}=\star J\] (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho}\),  \(\nabla \times \mathbf{B} =\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\))
  • 단위는 \(\mu_0 \varepsilon_0=c=1\) 이 되도록 선택

 

 

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