"양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:52 기준 최신판

개요

다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue

\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식에 등장함

\[(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

잭슨 적분과 양자 다이로그 함수

q-integral (Jackson integral)

q-적분 참조

\(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의

\[\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\]

\(q\to 1\) 이면,

\[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

다이로그 함수(dilogarithm)

\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]

잭슨 적분을 이용하여 \(\operatorname{Li}_{2,q}(z)\)를 다음과 같이 정의

\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) \]

양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함

\[\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]

다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음

\[ \operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} \]

다음의 관계가 성립한다

\[ -\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} \]

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

\(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,

\[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\] \[ \operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots \]

q가 root of unity 일 때의 근사식

[BR1995] section 3

양자 다이로그 항등식

양자 다이로그 항등식 (quantum dilogarithm identities)

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTGw0Vy1Ma2R0Ujg/edit

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_dilogarithm

리뷰논문과 에세이

R. M. Kashaev , Faddeev's quantum dilogarithm and 3-manifold invariants, Nov 2012
- 비디오
Recordings from the workshop on quantum dilogarithms and quantum Teichmüller theory, Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces, 2010

메타데이터

위키데이터

ID : Q7269036

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'quantum'}, {'LEMMA': 'dilogarithm'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
+==개요==
-* [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]]
+* [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 의 q-analogue
+:<math>\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
+* [[오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식]]에 등장함
+:<math>(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
+==잭슨 적분과 양자 다이로그 함수==
+===q-integral (Jackson integral)===
-<h5>개요</h5>
-* [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 의 q-analogue<br><math>\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math><br>
-* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] 에서 오일러의 공식<br><math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math><br>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">바일 대수(Weyl algebra)</h5>
-* <math>\mathbb{C}[q,q^{-1}]</math> 위에서 u,v 로 생성되는 대수, <math>uv=qvu</math> 를 만족시킴<br>
-** [[q-이항계수 (가우스 다항식)]] 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨<br>
-*  성질<br><math>(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}</math><br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}</math><br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}</math><br>
-*  양자 [[5항 관계식 (5-term relation) |5항 관계식 (5-term relation)]]<br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}</math><br>
-<h5 style="background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 2em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">q-integral (Jackson integral)</h5>
 * [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)|q-적분]] 참조
-* <math>0<q<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math><br><math>\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )</math><br>
+* <math>0<q<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의
-* <math>q\to 1</math> 이면, <math>\int_0^a f(x) d_q x \to  \int_0^a f(x) dx </math><br>
+:<math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math>
+* <math>q\to 1</math> 이면,
+:<math>\int_0^a f(x) d_q x \to  \int_0^a f(x) dx </math>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)</h5>
-<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t </math>
-<math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math>
-<math>\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math>
+===양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)===
+* [[다이로그 함수(dilogarithm)]]
+:<math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math>
+* 잭슨 적분을 이용하여 <math>\operatorname{Li}_{2,q}(z)</math>를 다음과 같이 정의
+:<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n)  </math>
+* 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함
+:<math>\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math>
+* 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음
+:<math>
+\operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)}
+</math>
+* 다음의 관계가 성립한다
+:<math>
+-\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)}
+</math>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>q\to 1</math> 일 때의 근사식</h5>
+==<math>q\to 1</math> 일 때의 근사식==
+* <math>q=e^{-t}</math> 이고 t가 0으로 갈 때,
+:<math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math>
+:<math>
+\operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots
+</math>
-<math>q=e^{-t}</math> 이고 t가 0으로 갈 때,<br><math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">q가 root of unity 일 때의 근사식</h5>
+==q가 root of unity 일 때의 근사식==
-* '''[BR1995]''' section 3<br>
+* '''[BR1995]''' section 3
+==양자 다이로그 항등식==
+* [[양자 다이로그 항등식 (quantum dilogarithm identities)]]
-<h5>역사</h5>
+==메모==
-* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
-<h5>메모</h5>
 * [http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/64430/1/1172-4.pdf Notes on Construction of the Knot Invariant from Quantum Dilogarithm Function]
@@ 85번째 줄: / 65번째 줄: @@
 * http://www.birs.ca/events/2010/5-day-workshops/10w5069/videos/watch/201009161744-Keller.mp4
-<h5>관련된 항목들</h5>
+==관련된 항목들==
+* [[5항 관계식 (5-term relation)]]
-* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)|q-적분]]
+* [[오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식]]
+* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)]]
 * [[q-감마함수]]
 * [[q-이항정리]]
 * [[q-초기하급수의 근사식]]
+* [[양자 바일 대수와 양자평면]]
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
-*  단어사전<br>
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
-** http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-** http://ko.wiktionary.org/wiki/
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTGw0Vy1Ma2R0Ujg/edit
-<h5>사전 형태의 자료</h5>
+==사전 형태의 자료==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_dilogarithm
-* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
-<h5>리뷰논문과 에세이</h5>
+==리뷰논문과 에세이==
+* R. M. Kashaev	, [http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=eng&presentid=5941 Faddeev's quantum dilogarithm and 3-manifold invariants], Nov 2012
+** 비디오
+* [http://qgm.au.dk/video/conf/dilogarithm/ Recordings from the workshop on quantum dilogarithms and quantum Teichmüller theory], Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces, 2010
-<h5>관련논문</h5>
-* Quantum dilogarithm, [http://wain.mi.ras.ru/indexrus.html Wadim Zudilin], Preprint, Bonn and Moscow (2006)
+==관련논문==
+* Kashaev, Rinat, and Marcos Marino. “Operators from Mirror Curves and the Quantum Dilogarithm.” arXiv:1501.01014 [hep-Th, Physics:math-Ph], January 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.01014.
+* Quantum dilogarithm, [http://wain.mi.ras.ru/indexrus.html Wadim Zudilin], Preprint, Bonn and Moscow (2006)
 * [http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784 The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm] R. M. Kashaev, 1996
-* Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal<br> Volume 3, Number 2, 205-214, doi:[http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631 10.1023/A:1006949508631]
+* Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal Volume 3, Number 2, 205-214, doi:[http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631 10.1023/A:1006949508631]
-* '''[BR1995]'''Bazhanov, V V,  and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. <em>Journal of Physics A: Mathematical and General</em> 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:[http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 10.1088/0305-4470/28/8/014]. [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=48&mx-pid=1338071 MR1338071(96k:81087)]
+* '''[BR1995]'''Bazhanov, V V,  and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. <em>Journal of Physics A: Mathematical and General</em> 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:[http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 10.1088/0305-4470/28/8/014]. [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=48&mx-pid=1338071 MR1338071(96k:81087)]
-* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm] Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
+* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm] Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
+* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394003610 Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol] R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768
+* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm] L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=52&mx-pid=1264393 MR1264393(95i:11150)]
-* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394003610 Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol] R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768<br>
+[[분류:다이로그]]
-* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm] L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=52&mx-pid=1264393 MR1264393(95i:11150)]<br>
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
+==메타데이터==
-* http://www.ams.org/mathscinet
+===위키데이터===
-* http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7269036 Q7269036]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'quantum'}, {'LEMMA': 'dilogarithm'}]