"중심이항계수 (central binomial coefficient)"의 두 판 사이의 차이
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==개요== | ==개요== | ||
| − | * 다음과 같은 [[이항계수와 조합|이항계수]]로 정의 | + | * 다음과 같은 [[이항계수와 조합|이항계수]]로 정의 |
| − | * 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률을 표현할 때 등장 | + | :<math>{2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2},\quad n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> |
| − | * 아페리가 [[Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]]를 증명하는데 활용됨 | + | * 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756,... |
| + | * <math>n\geq 1</math>일 때 짝수 | ||
| + | * 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률을 표현할 때 등장 | ||
| + | * 아페리가 [[Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]]를 증명하는데 활용됨 | ||
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==중심이항계수의 근사식== | ==중심이항계수의 근사식== | ||
| − | * http://planetmath.org/encyclopedia/AsymptoticsOfCentralBinomialCoefficient.html | + | * http://planetmath.org/encyclopedia/AsymptoticsOfCentralBinomialCoefficient.html |
| − | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/687 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기] 피타고라스의 창, 2008-7-12 | + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/12/687 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기] 피타고라스의 창, 2008-7-12 |
동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다. | 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다. | ||
| − | + | :<math>\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}</math> | |
| − | <math>\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}</math> | ||
한편 [[월리스 곱 (Wallis product formula)|월리스의 공식]]에서 일반항은 다음과 같은데, | 한편 [[월리스 곱 (Wallis product formula)|월리스의 공식]]에서 일반항은 다음과 같은데, | ||
| − | <math>p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}</math> | + | :<math>p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}</math> |
따라서 | 따라서 | ||
| − | <math>p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}</math> | + | :<math>p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}</math> |
이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다. | 이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다. | ||
| − | <math>\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}</math | + | :<math>\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}</math> 그리고 이는 다음을 말해준다. |
| − | <math>\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}</math> | + | :<math>\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}</math> |
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| − | + | ==멱급수와 중심이항계수== | |
| − | + | * [[이항급수와 이항정리]] | |
| − | + | :<math>\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n</math> | |
| − | * [[이항급수와 이항정리]] | + | * [[역삼각함수]] |
| − | * [[역삼각함수]] | + | :<math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math> |
| − | * [[카탈란 수열(Catalan numbers)]] 의 생성함수 | + | :<math>\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}</math> |
| + | :<math>\frac{4 \left(\sqrt{4-z}+\sqrt{z} \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{z}}{2}\right)\right)}{(4-z)^{3/2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{ {{2n}\choose {n}}}</math> | ||
| + | * [[카탈란 수열(Catalan numbers)]] 의 생성함수 | ||
| + | :<math>G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{2n\choose n}x^n</math> | ||
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== 중심이항계수가 나타나는 급수== | == 중심이항계수가 나타나는 급수== | ||
| − | * '''[Lehmer1985]''' 참조 | + | * '''[Lehmer1985]''' 참조 |
| − | + | ;정리 | |
| − | + | :<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}</math> | |
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| − | + | ;증명 | |
| − | + | :<math>\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}</math> 에서 <math>x=\frac{1}{2}</math>인 경우, <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}</math> 를 얻는다. ■ | |
| − | + | ;정리 | |
| + | :<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}</math> | ||
| − | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}</math> | + | ;증명 |
| + | :<math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math>에서 <math>x=\frac{1}{2}</math>인 경우, <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}</math>를 얻는다.■ | ||
| − | + | ;정리 | |
| − | + | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2\pi}{3}\operatorname{Cl}_ 2(\frac{\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\pi\operatorname{Cl}_ 2(\frac{2\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)</math> | |
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| − | <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2\pi}{3}\operatorname{Cl}_ 2(\frac{\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\pi\operatorname{Cl}_ 2(\frac{2\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)</math> | ||
여기서 <math>\operatorname{Cl}_ 2(\theta)</math> 는 [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]], <math>\psi^{(1)}</math>는 [[트리감마 함수(trigamma function)]]. | 여기서 <math>\operatorname{Cl}_ 2(\theta)</math> 는 [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]], <math>\psi^{(1)}</math>는 [[트리감마 함수(trigamma function)]]. | ||
| − | + | ;증명 | |
[http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A145438 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A145438] | [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A145438 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A145438] | ||
| − | <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math> | + | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math> |
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28arcsin+x%29%5E2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2 http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(arcsin+x)^2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2] | [http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28arcsin+x%29%5E2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2 http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(arcsin+x)^2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2] | ||
| 92번째 줄: | 81번째 줄: | ||
좌변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity | 좌변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity | ||
| − | 우변 [http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta%283%29/3%2Bpi*sqrt%283%29*%28trigamma%281/3%29-trigamma%282/3%29%29/18 http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta(3)/3%2Bpi*sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/18] | + | 우변 [http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta%283%29/3%2Bpi*sqrt%283%29*%28trigamma%281/3%29-trigamma%282/3%29%29/18 http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta(3)/3%2Bpi*sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/18] ■ |
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| + | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}</math> | ||
| − | + | 증명은 [[ζ(4)와 중심이항계수]]을 참고 | |
==원주율의 유리수 근사와 중심이항계수== | ==원주율의 유리수 근사와 중심이항계수== | ||
| − | + | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1</math> | |
<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3</math> | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3</math> | ||
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067</math> | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067</math> | ||
| − | + | http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity | |
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m%5E6*2%5Em/%28binom%282m,m%29%29+from+1+to+infinity http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^6*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity] | [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m%5E6*2%5Em/%28binom%282m,m%29%29+from+1+to+infinity http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^6*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity] | ||
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b</math> , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다. '''[Lehmer1985] '''참조 | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b</math> , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다. '''[Lehmer1985] '''참조 | ||
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==리만제타함수== | ==리만제타함수== | ||
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==메모== | ==메모== | ||
| − | + | * Kalmykov, M. Yu., and O. Veretin. 2000. “Single-Scale Diagrams and Multiple Binomial Sums.” Physics Letters B 483 (1–3) (June 15): 315–323. doi:10.1016/S0370-2693(00)00574-8. | |
| − | * http://math.stackexchange.com/questions/153504/the-fermat-prime-257-and-binomial-sum-sum-n-0-infty-frac-1n-binom-8 | + | * http://math.stackexchange.com/questions/153504/the-fermat-prime-257-and-binomial-sum-sum-n-0-infty-frac-1n-binom-8 |
| − | * | + | * http://mathoverflow.net/questions/98897/a-coincidence-concerning-fermat-primes-binomial-sums-and-eta-quotients |
| − | * | + | * http://tpiezas.wordpress.com/2012/06/03/fermat-primes-and-binomial-sums/ |
| − | * http://www1.au.edu.tw/ox_view/edu/tojms/j_paper/Full_text/Vol-25/No-2/25%282 %297-2%28141-151%29.pdf | + | * http://www1.au.edu.tw/ox_view/edu/tojms/j_paper/Full_text/Vol-25/No-2/25%282 %297-2%28141-151%29.pdf |
| − | + | *'''[Lehmer1985]'''에는 다음과 같은 공식이 나오지만, 잘못된 것이다. | |
| − | + | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math> | |
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| − | <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math> | ||
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바른 공식은 다음과 같다. | 바른 공식은 다음과 같다. | ||
| − | + | :<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)</math> | |
| − | <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)</math> | ||
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여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 트리감마(trigamma)함수. [[트리감마 함수(trigamma function)]]항목 참조 | 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 트리감마(trigamma)함수. [[트리감마 함수(trigamma function)]]항목 참조 | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | * [[카탈란 수열(Catalan numbers)]] | + | * [[카탈란 수열(Catalan numbers)]] |
| − | * [[ | + | * [[Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]] |
| − | * [[폴리로그 함수(polylogarithm)]] | + | * [[폴리로그 함수(polylogarithm)]] |
| − | * [[이항급수와 이항정리]] | + | * [[이항급수와 이항정리]] |
| − | * [[정규분포와 그 확률밀도함수]] | + | * [[정규분포와 그 확률밀도함수]] |
| − | * [[중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제]] | + | * [[중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제]] |
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| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSDhxWm9WQnZpV3c/edit | ||
| + | * http://oeis.org/A000984 | ||
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==사전 형태의 자료== | ==사전 형태의 자료== | ||
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* http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html | * http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html | ||
* http://planetmath.org/GeneratingFunctionForTheReciprocalCentralBinomialCoefficients.html | * http://planetmath.org/GeneratingFunctionForTheReciprocalCentralBinomialCoefficients.html | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | + | * Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929. | |
* Renzo Sprugnoli, Sum of reciprocals of the Central Binomial Coefficients, Integers: electronic journal of combinatorial number theory, 6 (2006) A27, 1-18 | * Renzo Sprugnoli, Sum of reciprocals of the Central Binomial Coefficients, Integers: electronic journal of combinatorial number theory, 6 (2006) A27, 1-18 | ||
| − | * | + | * Bailey, David H., Jonathan M. Borwein, and David M. Bradley. 2005. “Experimental Determination of Apery-Like Identities for Zeta(2n+2).” Lawrence Berkeley National Laboratory (May 11). http://escholarship.org/uc/item/7wd7j9nz. |
| − | * | + | * Borwein, Jonathan M., and Roland Girgensohn. 2005. “Evaluations of Binomial Series.” Aequationes Mathematicae 70 (1-2) (September 1): 25–36. doi:10.1007/s00010-005-2774-x. |
| − | + | * Borwein, J. M., D. J. Broadhurst, and J. Kamnitzer. 2000. “Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values.” arXiv:hep-th/0004153 (April 22). http://arxiv.org/abs/hep-th/0004153. | |
| − | + | * '''[Lehmer1985]''' Lehmer, D. H. 1985. “Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient.” The American Mathematical Monthly 92 (7) (August): 449. doi:10.2307/2322496. | |
| − | * | + | * Zucker, I. J. 1985. “On the Series <math>\sum_{k=1}^{\infty}\binom{2n}{n}^{-1}k^{−n}</math> and Related Sums.” Journal of Number Theory 20 (1) (February): 92–102. doi:10.1016/0022-314X(85)90019-8. |
| − | + | * A.J. Van der Poorten. Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms, Queen's papers in Pure and Applied Mathematics, 54 (1979), 269-286 | |
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| − | * '''[Lehmer1985]''' | ||
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
| + | * http://books.google.co.kr/books?id=C0HPgWhEssYC | ||
| + | [[분류:조합수학]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1045966 Q1045966] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'central'}, {'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'coefficient'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:00 기준 최신판
개요
- 다음과 같은 이항계수로 정의
\[{2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2},\quad n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\]
- 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756,...
- \(n\geq 1\)일 때 짝수
- 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률을 표현할 때 등장
- 아페리가 Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)를 증명하는데 활용됨
중심이항계수의 근사식
- http://planetmath.org/encyclopedia/AsymptoticsOfCentralBinomialCoefficient.html
- 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기 피타고라스의 창, 2008-7-12
동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다. \[\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}\]
한편 월리스의 공식에서 일반항은 다음과 같은데,
\[p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\]
따라서
\[p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\]
이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다.
\[\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\] 그리고 이는 다음을 말해준다.
\[\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\]
멱급수와 중심이항계수
\[\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n\]
\[2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\] \[\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\] \[\frac{4 \left(\sqrt{4-z}+\sqrt{z} \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{z}}{2}\right)\right)}{(4-z)^{3/2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{ {{2n}\choose {n}}}\]
- 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 생성함수
\[G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{2n\choose n}x^n\]
중심이항계수가 나타나는 급수
- [Lehmer1985] 참조
- 정리
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\]
- 증명
\[\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\] 에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\) 를 얻는다. ■
- 정리
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\]
- 증명
\[2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\]에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\)를 얻는다.■
- 정리
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2\pi}{3}\operatorname{Cl}_ 2(\frac{\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\pi\operatorname{Cl}_ 2(\frac{2\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)\]
여기서 \(\operatorname{Cl}_ 2(\theta)\) 는 로바체프스키와 클라우센 함수, \(\psi^{(1)}\)는 트리감마 함수(trigamma function).
- 증명
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A145438
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx\]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(arcsin+x)^2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2
좌변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity
우변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta(3)/3%2Bpi*sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/18 ■
- 정리(Comtet의 공식)
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\]
증명은 ζ(4)와 중심이항계수을 참고
원주율의 유리수 근사와 중심이항계수
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^6*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity
일반적으로 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여,
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b\) , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다. [Lehmer1985] 참조
리만제타함수
\(\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}\)
\(\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\)
\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)
메모
- Kalmykov, M. Yu., and O. Veretin. 2000. “Single-Scale Diagrams and Multiple Binomial Sums.” Physics Letters B 483 (1–3) (June 15): 315–323. doi:10.1016/S0370-2693(00)00574-8.
- http://math.stackexchange.com/questions/153504/the-fermat-prime-257-and-binomial-sum-sum-n-0-infty-frac-1n-binom-8
- http://mathoverflow.net/questions/98897/a-coincidence-concerning-fermat-primes-binomial-sums-and-eta-quotients
- http://tpiezas.wordpress.com/2012/06/03/fermat-primes-and-binomial-sums/
- http://www1.au.edu.tw/ox_view/edu/tojms/j_paper/Full_text/Vol-25/No-2/25%282 %297-2%28141-151%29.pdf
- [Lehmer1985]에는 다음과 같은 공식이 나오지만, 잘못된 것이다.
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\] 바른 공식은 다음과 같다. \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)\] 여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마(trigamma)함수. 트리감마 함수(trigamma function)항목 참조
관련된 항목들
- 카탈란 수열(Catalan numbers)
- Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)
- 폴리로그 함수(polylogarithm)
- 이항급수와 이항정리
- 정규분포와 그 확률밀도함수
- 중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Central_binomial_coefficient
- http://math world.wolfram.com/CentralBinomialCoefficient.html
- http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html
- http://planetmath.org/GeneratingFunctionForTheReciprocalCentralBinomialCoefficients.html
관련논문
- Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929.
- Renzo Sprugnoli, Sum of reciprocals of the Central Binomial Coefficients, Integers: electronic journal of combinatorial number theory, 6 (2006) A27, 1-18
- Bailey, David H., Jonathan M. Borwein, and David M. Bradley. 2005. “Experimental Determination of Apery-Like Identities for Zeta(2n+2).” Lawrence Berkeley National Laboratory (May 11). http://escholarship.org/uc/item/7wd7j9nz.
- Borwein, Jonathan M., and Roland Girgensohn. 2005. “Evaluations of Binomial Series.” Aequationes Mathematicae 70 (1-2) (September 1): 25–36. doi:10.1007/s00010-005-2774-x.
- Borwein, J. M., D. J. Broadhurst, and J. Kamnitzer. 2000. “Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values.” arXiv:hep-th/0004153 (April 22). http://arxiv.org/abs/hep-th/0004153.
- [Lehmer1985] Lehmer, D. H. 1985. “Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient.” The American Mathematical Monthly 92 (7) (August): 449. doi:10.2307/2322496.
- Zucker, I. J. 1985. “On the Series \(\sum_{k=1}^{\infty}\binom{2n}{n}^{-1}k^{−n}\) and Related Sums.” Journal of Number Theory 20 (1) (February): 92–102. doi:10.1016/0022-314X(85)90019-8.
- A.J. Van der Poorten. Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms, Queen's papers in Pure and Applied Mathematics, 54 (1979), 269-286
관련도서
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1045966
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'central'}, {'LOWER': 'binomial'}, {'LEMMA': 'coefficient'}]