"맴돌이군과 미분방정식"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다<br> | ||
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해는 <math>y=c_1+c_2\log x</math> | 해는 <math>y=c_1+c_2\log x</math> | ||
| − | 1은 해석함수이므로, 해석적확장에 의해 변하지 않는다. | + | 1은 해석함수이므로, 해석적확장에 의해 변하지 않는다. <math>1 =1 \cdot 1+0 \cdot \log x</math> |
| − | 원점 주위를 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 <math>\log x</math>를 해석적으로 | + | 원점 주위를 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 <math>\log x</math>를 해석적으로 확장하여 제자리로 돌아오는 경우 <math>\log x+2\pi i=2\pi i\cdot 1+1 \cdot \log x</math> 를 얻는다. |
| − | 따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 경로는 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 행렬 | + | 따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 행렬 |
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| − | + | 일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 준동형사상 <math>\pi_1(\mathbb{C}-\{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})</math> 를 미분방정식에 대한 <math>\pi_1</math>의 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. | |
| − | + | 미분방정식 <math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0</math>의 맴돌이군은 따라서 <math>\mathbb{Z}</math>와 같다. | |
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* [[로그 함수|로그함수]]<br> | * [[로그 함수|로그함수]]<br> | ||
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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2010년 1월 23일 (토) 19:33 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
복소로그함수
복소로그함수는 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의
- \(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\)
- 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다
- 복소로그함수가 정의된 리만곡면
[[Media:|]]
\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0\)
\(\alpha=1\), \(\beta=0\) 인 경우,
\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0\)
\(\{1,\log x\}\)는 기저가 된다
해는 \(y=c_1+c_2\log x\)
1은 해석함수이므로, 해석적확장에 의해 변하지 않는다. \(1 =1 \cdot 1+0 \cdot \log x\)
원점 주위를 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 \(\log x\)를 해석적으로 확장하여 제자리로 돌아오는 경우 \(\log x+2\pi i=2\pi i\cdot 1+1 \cdot \log x\) 를 얻는다.
따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 행렬
\(\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
에 대응된다.
일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 준동형사상 \(\pi_1(\mathbb{C}-\{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})\) 를 미분방정식에 대한 \(\pi_1\)의 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다.
미분방정식 \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ x\frac{dy}{dx}=0\)의 맴돌이군은 따라서 \(\mathbb{Z}\)와 같다.
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서
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관련기사
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