"모든 자연수의 합과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이

2012년 8월 25일 (토) 15:12 판

\(\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\)

리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다.

\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)

\(\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)\)

여기에 \(s=-1\) 을 대입하면, 다음을 얻는다.

\(\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}\). ■

보조정리

\(1-2+3 -4 +5-6+\cdots = \frac{1}{4}\)

(증명)
테일러정리에 의하면,

\(x-2 x^2+3 x^3-4 x^4+\cdots = \frac{x}{(1+x)^2}\)

본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.
그러므로,

\(S=1+2+3+4+\cdots\)

\(2S=2+4+6+8+\cdots\)

\(4S=2(2+4+6+8+\cdots)\)

그러므로,

\(1-2+3-4+5-6+\cdots+4S=1+2+3+4+5+6+\cdots = S\)

따라서,

\(-3S=1-2+3-4+5-6+\cdots\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}n=1+2+3+4+\cdots = \frac{-1}{12}\)

조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.

@@ 51번째 줄: / 51번째 줄: @@
 본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.<br> 그러므로,
-<math>1-2+3 -4 +5-6+\cdots = \frac{1}{4}</math>■
+<math>S=1+2+3+4+\cdots</math>
-본론으로 돌아가서,
-<math>S=1+2+3+4+5+6\cdots</math>
 <math>2S=2+4+6+8+\cdots</math>
 <math>4S=2(2+4+6+8+\cdots)</math>
@@ 65번째 줄: / 63번째 줄: @@
 그러므로,
-<blockquote>
+<math>1-2+3-4+5-6+\cdots+4S=1+2+3+4+5+6+\cdots = S</math>
-<math>1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +  \cdots + 4S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +  \cdots= S</math>
-</blockquote>
 따라서,
-<blockquote>
+<math>-3S=1-2+3-4+5-6+\cdots</math>
-<math>-3S= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +  \cdots =\frac{1}{4}</math>
-</blockquote>
-<blockquote>
+<math>\sum_{n=1}^{\infty}n=1+2+3+4+\cdots = \frac{-1}{12}</math>
-<math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +  \cdots = -\frac{1}{12}</math>
-</blockquote>