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* (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성. | * (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성. | ||
* 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다. | * 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다. | ||
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** 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요 | ** 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요 | ||
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− | * | + | * [[드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형|드 무아브르 정리]] |
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+ | * 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다 | ||
+ | ** 오일러의 공식 :<math> e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta</math> (복소수승의 정의(definition)) | ||
+ | ** [[오일러의 공식|오일러의 공식 <math>e^{iπ}+1=0</math>]] 항목 참조 | ||
+ | * 복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이) | ||
+ | ** <math>|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |</math>, <math>\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)</math> | ||
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+ | * [[켤레복소수]] 항목 참조 | ||
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* <math> e^{i\pi}+1 =0</math> | * <math> e^{i\pi}+1 =0</math> | ||
− | * <math> i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}</math>, and... (실수) | + | * <math> i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}</math>, and... (실수) [[i^i 는 무엇일까?]] |
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− | + | ==관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들== | |
* 이차방정식 <math> ax^2 + bx + c =0</math>의 근: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>(근의 공식), 특별히 <math>b^2 -4ac <0</math> 인 경우 두 복소근을 가짐. | * 이차방정식 <math> ax^2 + bx + c =0</math>의 근: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>(근의 공식), 특별히 <math>b^2 -4ac <0</math> 인 경우 두 복소근을 가짐. | ||
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<math>\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)</math> 에서 <math> i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)</math> | <math>\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)</math> 에서 <math> i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)</math> | ||
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− | + | * [[2차원 회전 변환]] 항목 참조 | |
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− | + | ==관련된 대학교 수학== | |
− | * [[복소함수론]] | + | * [[복소함수론]] |
** 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임. | ** 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임. | ||
** 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움. | ** 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움. | ||
** 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음. | ** 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음. | ||
− | * [[추상대수학]] | + | * [[추상대수학]] |
** 복소수는 체의 구조를 가지고 있음. | ** 복소수는 체의 구조를 가지고 있음. | ||
** 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ? | ** 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ? | ||
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* [[대수학의 기본정리]] | * [[대수학의 기본정리]] | ||
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+ | ==메모== | ||
+ | * [http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf A Short History of Complex Numbers] | ||
+ | * [http://www.jstor.org/stable/3616235 The Historical Development of Complex Numbers] | ||
+ | ** D. R. Green, <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107 | ||
+ | * [[Dimensions]] | ||
+ | ** 아름다운 장면이 많은 수학 동영상 | ||
+ | ** chapter 5,6는 복소수에 대한 내용을 담고 있음. | ||
− | * [ | + | ==관련된 항목들== |
− | * | + | * [[쌍곡수]] |
− | + | * [[해밀턴의 사원수(quarternions)]] | |
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− | + | [[분류:고교수학]] |
2020년 11월 16일 (월) 05:02 기준 최신판
개요
- (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
- 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.
배우기 전에 알고 있어야 하는 것들
- (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
- 삼각함수의 덧셈정리
- 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요
중요한 개념 및 정리
- \(i^2=-1\)
- 대수학의 기본정리 복소수를 계수로 가지는 \(n\)차방정식은 \(n\)개의 복소수근(만)을 가진다
- 복소수의 극형식 \[z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\], \(r>0,\theta\in \mathbb{R}\)
- 극형식과 복소수의 곱셈 두 복소수\(z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)\), \(z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)\)이면 \[ z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big).\]
\[(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\]
- 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다
- 오일러의 공식 \[ e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta\] (복소수승의 정의(definition))
- 오일러의 공식 \(e^{iπ}+1=0\) 항목 참조
- 복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
- \(|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |\), \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)
켤레복소수
- 복소수 \(z=x+i y\) (\(x,y\)는 실수)에 대하여 켤레복소수 \(\bar{z}\)는 \(\bar{z}=x-iy\)로 정의된다
- 켤레복소수 항목 참조
재미있는 문제
- \( e^{i\pi}+1 =0\)
- \( i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}\), and... (실수) i^i 는 무엇일까?
관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들
- 이차방정식 \( ax^2 + bx + c =0\)의 근\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\](근의 공식), 특별히 \(b^2 -4ac <0\) 인 경우 두 복소근을 가짐.
- 하나의 복소수가 실계수 방정식의 근이라면 그 켤레복소수도 역시 근이 됨.
- 길이가 1인 복소수의 곱셈은 2차원 평면 상에서, 회전변환으로 이해할 수 있음.
\(\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)^2 = -\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\) 에서 \( i \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\)
\( \cos \theta + i\sin\theta \leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{array} \right)\) :
- 2차원 회전 변환 항목 참조
관련된 대학교 수학
- 복소함수론
- 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임.
- 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움.
- 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음.
- 추상대수학
- 복소수는 체의 구조를 가지고 있음.
- 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ?
- 4차원에는 복소수의 확장이라 할 수 있는 해밀턴의 사원수가 있음.
- 대수학의 기본정리
메모
- A Short History of Complex Numbers
- The Historical Development of Complex Numbers
- D. R. Green, The Mathematical Gazette, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107
- Dimensions
- 아름다운 장면이 많은 수학 동영상
- chapter 5,6는 복소수에 대한 내용을 담고 있음.