"볼록다면체에 대한 데카르트 정리"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | * 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 <math>2\pi</math> 위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기. 이를 다 합하면 <math>2\pi</math>가 됨. | |
| − | + | * 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름 | |
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| − | * 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 <math>2\pi</math | ||
| − | * 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 | ||
* 다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응 | * 다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응 | ||
| − | + | ==결손각(angle defect)과 정다면체== | |
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* 결손각의 정의 ''':'''<math>2\pi</math>'''- (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)''' | * 결손각의 정의 ''':'''<math>2\pi</math>'''- (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)''' | ||
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| <em style="">V-E+F</em> | | <em style="">V-E+F</em> | ||
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| 정육면체 | | 정육면체 | ||
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| 12-30+20=2 | | 12-30+20=2 | ||
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| <math>12\times\frac{\pi}{3}=4\pi</math> | | <math>12\times\frac{\pi}{3}=4\pi</math> | ||
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* 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 결손각의 총합이 <math>2\pi</math>라는 것. | * 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 결손각의 총합이 <math>2\pi</math>라는 것. | ||
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| − | + | ||
| − | + | ==증명== | |
다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자. | 다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자. | ||
| − | + | <math>n_k</math>를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자. | |
| − | + | 다음과 같은 사실들을 사용하자. | |
| − | + | * 각 k각형의 내각의 합은 <math>(k-2)\pi</math> 이다 | |
| − | + | * 각 점에서의 결손각들을 모두 더하면 <math>2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)\pi n_k</math> 이다 | |
| − | + | * <math>\sum_{k\ge3}k n_k = 2E</math> 가 성립한다 | |
| − | + | ** 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. | |
| − | + | * 오일러의 정리 <math>V-E+F=2</math> | |
| − | + | 따라서 결손각의 총합은 다음과 같이 쓰여진다. | |
| − | + | :<math>2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)n_k=2\pi V-\sum_{k\ge3}kn_k+2\pi F=2\pi (V-E+F)=4\pi</math> | |
| − | + | ■ | |
| − | k각형의 내각의 합은 | ||
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| − | + | ==응용== | |
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* 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용. | * 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용. | ||
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정오각형의 한 점의 내각의 크기가 <math>{3\pi}/{5}</math> | 정오각형의 한 점의 내각의 크기가 <math>{3\pi}/{5}</math> | ||
| − | 한 점에서의 | + | 한 점에서의 결손각이 <math>{\pi}/{5}</math>가 된다는 것을 알수 있음. |
| − | 데카르트의 정리에 의해 <math>4\pi</math> | + | 데카르트의 정리에 의해 <math>4\pi</math> 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨. |
| − | * 비슷한 | + | * 비슷한 응용으로 [[축구공의 수학]] 항목 참조. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 고교수학 또는 대학수학== | |
* [[미분기하학]] | * [[미분기하학]] | ||
| − | * [[대수적위상수학]] | + | * [[대수적위상수학]] |
| − | + | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]] | * [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]] | ||
| + | * [[다각형의 외각의 합]] | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
| − | * [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology] | + | * [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology] |
** David S. Richeson | ** David S. Richeson | ||
** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯. | ** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯. | ||
| − | * [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/handouts.html Geometry and the Imagination in Minneapolis] | + | * [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/handouts.html Geometry and the Imagination in Minneapolis] |
** John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, Bill Thurston | ** John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, Bill Thurston | ||
** This document consists of the collection of handouts for a two-week summer workshop entitled 'Geometry and the Imagination', led by John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston at the Geometry Center in Minneapolis, June 17-28, 1991. The workshop was based on a course `Geometry and the Imagination' which we had taught twice before at Princeton. | ** This document consists of the collection of handouts for a two-week summer workshop entitled 'Geometry and the Imagination', led by John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston at the Geometry Center in Minneapolis, June 17-28, 1991. The workshop was based on a course `Geometry and the Imagination' which we had taught twice before at Princeton. | ||
** [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node18.html#SECTION000180000000000000000 The angle defect of a polyhedron] | ** [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node18.html#SECTION000180000000000000000 The angle defect of a polyhedron] | ||
** [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node19.html#SECTION000190000000000000000 Descartes's Formula.] | ** [http://www.geom.uiuc.edu/docs/doyle/mpls/handouts/node19.html#SECTION000190000000000000000 Descartes's Formula.] | ||
| − | * 도서내검색 | + | * 도서내검색 |
** http://books.google.com/books?q= | ** http://books.google.com/books?q= | ||
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query= | ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query= | ||
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords= | ** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords= | ||
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* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q= | * 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q= | ||
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| − | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) | + | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) |
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=정다면체] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=정다면체] | ||
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| − | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리] | + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리] |
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| + | [[분류:중학수학]] | ||
| + | [[분류:구면기하학]] | ||
2020년 11월 13일 (금) 20:12 기준 최신판
개요
- 다각형의 외각의 합
- 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\) 위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기. 이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
- 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
- 다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응
결손각(angle defect)과 정다면체
- 결손각의 정의 :\(2\pi\)- (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
- 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.
| 다면체 | 그림 | 점 V | 선 E | 면 F | V-E+F | 한점에서의 결손각 A | 결손각의 총합 V × A |
| 정사면체 | Tetrahedron | 4 | 6 | 4 | 4-6+4=2 | \(2\pi-3\times \frac{\pi}{3}=\pi\) | \(4\times \pi=4\pi\) |
| 정육면체 | Hexahedron (cube) | 8 | 12 | 6 | 8-12+6=2 | \(2\pi-3\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) | \(8\times \frac{\pi}{2}=4\pi\) |
| 정팔면체 | Octahedron | 6 | 12 | 8 | 6-12+8=2 | \(2\pi-4\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) | \(6\times \frac{2\pi}{3}=4\pi\) |
| 정십이면체 | Dodecahedron | 20 | 30 | 12 | 20-30+12=2 | \(2\pi-3\times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) | \(20\times \frac{\pi}{5}=4\pi\)\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\) |
| 정이십면체 | Icosahedron | 12 | 30 | 20 | 12-30+20=2 | \(2\pi-5\times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) | \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\) |
- 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 결손각의 총합이 \(2\pi\)라는 것.
증명
다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.
\(n_k\)를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자. 다음과 같은 사실들을 사용하자.
- 각 k각형의 내각의 합은 \((k-2)\pi\) 이다
- 각 점에서의 결손각들을 모두 더하면 \(2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)\pi n_k\) 이다
- \(\sum_{k\ge3}k n_k = 2E\) 가 성립한다
- 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다.
- 오일러의 정리 \(V-E+F=2\)
따라서 결손각의 총합은 다음과 같이 쓰여진다. \[2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)n_k=2\pi V-\sum_{k\ge3}kn_k+2\pi F=2\pi (V-E+F)=4\pi\] ■
응용
- 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.
점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인
정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \({3\pi}/{5}\)
한 점에서의 결손각이 \({\pi}/{5}\)가 된다는 것을 알수 있음.
데카르트의 정리에 의해 \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.
- 비슷한 응용으로 축구공의 수학 항목 참조.
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
관련도서
- Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
- David S. Richeson
- 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
- Geometry and the Imagination in Minneapolis
- John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, Bill Thurston
- This document consists of the collection of handouts for a two-week summer workshop entitled 'Geometry and the Imagination', led by John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston at the Geometry Center in Minneapolis, June 17-28, 1991. The workshop was based on a course `Geometry and the Imagination' which we had taught twice before at Princeton.
- The angle defect of a polyhedron
- Descartes's Formula.
- 도서내검색
- 도서검색
사전형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
블로그
- 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리
- 피타고라스의 창