"3차원 유한회전군의 분류"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 03:46 기준 최신판

개요

SO(3) = 2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
- 3차원 공간의 회전과 SO(3) 항목 참조
SO(3)의 유한부분군의 분류는 다음과 같이 주어짐
- 순환군 \(C_n\)
- 정이면체군(dihedral group) \(D_n\)
- 정사면체의 대칭군 \(T\) , A4
- 정팔면체(정육면체)의 대칭군 \(O\) S4
- 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 \(I\) 교대군 A5

SU(2)의 유한부분군

binary polyhedral groups
binary Tetrahedral groups
- \(\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}\)
- group of order 24

분류 정리의 증명

\(\Gamma\) 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.

각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.

각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 \(v_p\geq 2\)인 순환군이 된다.

\(\Gamma\)에 의한 p의 궤도의 집합을 \(C_p\)라 하면, \(|C_p|=\frac{n}{v_p}\)가 된다.

이제 집합 \(S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}\) 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.

1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, \(|S|=2(n-1)\)

2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 \(v_p-1\) 이므로, \(|S|=\sum_{p}(v_p-1)\)

극점들을 움직이는 \(\Gamma\)에 의한 궤도 \(C\)의 크기를 \(n_{C}\)라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다 : \[2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)\] 여기서 \(v_C\)는 궤도 \(C\)의 원소 \(p\)에 대하여 \(v_p\)를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.

위 식의 양변을 \(n\)으로 나누면, 다음의 디오판투스 방정식을 얻는다: \[2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})\label{dioph}\]

\(n\geq 2\) 이고, \(1\leq 2-\frac{2}{n}< 2\), \(\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1\) 이므로, 총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.

번사이드 보조정리를 이용하여 \ref{dioph}를 얻을 수도 있다

궤도가 2개인 경우

\ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다

\[\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2\]

따라서 \(n_1=n_2=1\) 을 얻고, 이 경우 \(\Gamma\)는 크기가 n인 순환군이다.

궤도가 3개인 경우

\ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다

\[1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}\] 해는 다음과 같다 \[(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{n}{2}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)\] 각각의 경우는 정이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군에 해당한다

사전형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q7208207

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'point'}, {'LOWER': 'groups'}, {'LOWER': 'in'}, {'LOWER': 'three'}, {'LEMMA': 'dimension'}]

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-<h5>간단한 소개</h5>
+==개요==
-* SO(3) =  2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
+* SO(3) =  2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
-*  SO(3)의 유한부분군의 분류 문제<br>
+** [[3차원 공간의 회전과 SO(3)]] 항목 참조
-** [[순환군]] <math>C_n</math>
+*  SO(3)의 유한부분군의 분류는 다음과 같이 주어짐
-** 이면군 <math>D_n</math>
+** [[순환군]] <math>C_n</math>
-** 정사면체의 대칭군 <math>T</math> , A4
+** [[정이면체군(dihedral group)]] <math>D_n</math>
-** 정팔면체(정육면체)의 대칭군 <math>O</math> S4
+** 정사면체의 대칭군 <math>T</math> , A4
-** 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 <math>I</math> A5
+** 정팔면체(정육면체)의 대칭군 <math>O</math> S4
+** 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 <math>I</math> [[교대군 A5]]
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">SU(2)의 유한부분군</h5>
+==SU(2)의 유한부분군==
 * binary polyhedral groups
-*  binary Tetrahedral groups<br>
+*  binary Tetrahedral groups
 ** <math>\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}</math>
 ** group of order 24
+==분류 정리의 증명==
+<math>\Gamma</math> 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">분류 정리의 증명</h5>
+각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.
+각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 <math>v_p\geq 2</math>인 순환군이 된다.
-<math>\Gamma</math> 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.
+<math>\Gamma</math>에 의한 p의 궤도의 집합을 <math>C_p</math>라 하면, <math>|C_p|=\frac{n}{v_p}</math>가 된다.
-각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.
+이제 집합 <math>S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}</math> 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.
-각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 <math>v_p\geq 2</math>인 순환군이 된다.
+) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, <math>|S|=2(n-1)</math>
-<math>\Gamma</math>에 의한 p의 궤도의 집합을 <math>C_p</math>라 하면, <math>|C_p|=\frac{n}{v_p}</math>가 된다.
+) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 <math>v_p-1</math> 이므로, <math>|S|=\sum_{p}(v_p-1)</math>
-이제 집합 <math>S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}</math> 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.
+극점들을 움직이는 <math>\Gamma</math>에 의한 궤도 <math>C</math>의 크기를 <math>n_{C}</math>라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다 :
+:<math>2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)</math>
+여기서 <math>v_C</math>는 궤도 <math>C</math>의 원소 <math>p</math>에 대하여 <math>v_p</math>를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.
-) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, <math>|S|=2(n-1)</math>
+위 식의 양변을 <math>n</math>으로 나누면, 다음의 [[디오판투스 방정식]]을 얻는다:
+:<math>2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})\label{dioph}</math>
-) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 <math>v_p-1</math> 이므로, <math>|S|=\sum_{p}(v_p-1)</math>
+<math>n\geq 2</math> 이고, <math>1\leq 2-\frac{2}{n}< 2</math>,  <math>\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1</math> 이므로,  총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.
-극점들을 움직이는 <math>\Gamma</math>에 의한 궤도 <math>C</math>의 크기를 <math>n_{C}</math>라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
+* [[번사이드 보조정리]]를 이용하여 \ref{dioph}를 얻을 수도 있다
-<math>2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)</math>
-여기서 <math>v_C</math>는 궤도 <math>C</math>의 원소 <math>p</math>에 대하여 <math>v_p</math>를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.
+===궤도가 2개인 경우===
+* \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다
+:<math>\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2</math>
-위 식의 양변을 <math>n</math>으로 나누면, 다음을 얻는다.
+따라서 <math>n_1=n_2=1</math> 을 얻고, 이 경우 <math>\Gamma</math>는 크기가 n인 순환군이다.
-<math>2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})</math>
-<math>n\geq 2</math> 이고, <math>1\leq 2-\frac{2}{n}< 2</math>,  <math>\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1</math> 이므로,  총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.
+===궤도가 3개인 경우===
+* \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다
+:<math>1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}</math>
+해는 다음과 같다
+:<math>(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{n}{2}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)</math>
+각각의 경우는 정이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군에 해당한다
-궤도가 2개인 경우
+==관련된 항목들==
+* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
-<math>\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2</math>
-따라서 <math>n_1=n_2=1</math> 을 얻고, 이 경우 <math>\Gamma</math>는 크기가 n인 순환군이다.
+==관련도서==
+*  Hermann Weyl, Appendix, [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0691023743/ebk-20/ Symmetry]
+** [[2086890/attachments/1006856|Weyl_on_platonic_solids.pdf]]
-궤도가 3개인 경우
+==사전형태의 자료==
-<math>1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}</math>
-<math>(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{2}{n}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)</math> 를 얻는다.
-각각의 경우
-<h5>하위주제들</h5>
-==== 하위페이지 ====
-* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
-** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
-<h5>재미있는 사실</h5>
-<h5>관련된 단원</h5>
-<h5>많이 나오는 질문</h5>
-*  네이버 지식인<br>
-** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
-<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
-<h5>관련된 다른 주제들</h5>
-* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
-<h5>참고할만한 자료</h5>
-*  Appendix of the book '[http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0691023743/ebk-20/ Symmetry]'<br>
-** [[2086890/attachments/1006856|Weyl_on_platonic_solids.pdf]]
-** Hermann Weyl's
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
-*  http://en.wikipedia.org/wiki/<br>
+*  http://en.wikipedia.org/wiki/
 ** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_polyhedral_group#Binary_polyhedral_groups
 ** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_cyclic_group
@@ 143번째 줄: / 86번째 줄: @@
 ** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_octahedral_group
 ** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_icosahedral_group
+==관련논문==
+* Bakry, Dominique, and Xavier Bressaud. ‘Diffusions with Polynomial Eigenvectors via Finite Subgroups of O(3)’. arXiv:1507.01394 [math], 6 July 2015. http://arxiv.org/abs/1507.01394.
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7208207 Q7208207]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'point'}, {'LOWER': 'groups'}, {'LOWER': 'in'}, {'LOWER': 'three'}, {'LEMMA': 'dimension'}]