"3차원 유한회전군의 분류"의 두 판 사이의 차이

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<h5>개요</h5>
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==개요==
  
* SO(3) =  2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
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* SO(3) = 2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
*  SO(3)의 유한부분군의 분류 문제<br>
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** [[3차원 공간의 회전과 SO(3)]] 항목 참조
** [[순환군]] <math>C_n</math>
+
*  SO(3)의 유한부분군의 분류는 다음과 같이 주어짐
** 이면군 <math>D_n</math>
+
** [[순환군]] <math>C_n</math>
** 정사면체의 대칭군 <math>T</math> , A4
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** [[정이면체군(dihedral group)]] <math>D_n</math>
** 정팔면체(정육면체)의 대칭군 <math>O</math> S4
+
** 정사면체의 대칭군 <math>T</math> , A4
** 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 <math>I</math> A5
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** 정팔면체(정육면체)의 대칭군 <math>O</math> S4
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** 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 <math>I</math> [[교대군 A5]]
  
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">SU(2)의 유한부분군</h5>
 
  
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==SU(2)의 유한부분군==
 
* binary polyhedral groups
 
* binary polyhedral groups
*  binary Tetrahedral groups<br>
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*  binary Tetrahedral groups
 
** <math>\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}</math>
 
** <math>\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}</math>
 
** group of order 24
 
** group of order 24
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">분류 정리의 증명</h5>
 
 
 
<math>\Gamma</math> 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.
 
 
 
각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.
 
 
 
각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 <math>v_p\geq 2</math>인 순환군이 된다.
 
 
 
<math>\Gamma</math>에 의한 p의 궤도의 집합을 <math>C_p</math>라 하면, <math>|C_p|=\frac{n}{v_p}</math>가 된다.
 
 
 
이제 집합 <math>S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}</math> 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.
 
  
1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, <math>|S|=2(n-1)</math>
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==분류 정리의 증명==
  
2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 <math>v_p-1</math> 이므로, <math>|S|=\sum_{p}(v_p-1)</math>
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<math>\Gamma</math> 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.
  
극점들을 움직이는 <math>\Gamma</math>에 의한 궤도 <math>C</math>의 크기를 <math>n_{C}</math>라 하면, 위에서 얻은 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
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각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 점을 극점이라고 부르자.
  
<math>2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)</math>
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각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 <math>v_p\geq 2</math>인 순환군이 된다.
  
여기서 <math>v_C</math>는 궤도 <math>C</math>의 원소 <math>p</math>에 대하여 <math>v_p</math>를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.
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<math>\Gamma</math>에 의한 p의 궤도의 집합을 <math>C_p</math>라 하면, <math>|C_p|=\frac{n}{v_p}</math>가 된다.
  
위 식의 양변을 <math>n</math>으로 나누면, 다음을 얻는다.
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이제 집합 <math>S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}</math> 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.
  
<math>2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})</math>
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1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, <math>|S|=2(n-1)</math>
  
<math>n\geq 2</math> 이고, <math>1\leq 2-\frac{2}{n}< 2</math>,  <math>\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1</math> 이므로,  총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다. 
+
2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 <math>v_p-1</math> 이므로, <math>|S|=\sum_{p}(v_p-1)</math>
  
궤도가 2개인 경우
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극점들을 움직이는 <math>\Gamma</math>에 의한 궤도 <math>C</math>의 크기를 <math>n_{C}</math>라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다 :
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:<math>2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)</math>
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여기서 <math>v_C</math>는 궤도 <math>C</math>의 원소 <math>p</math>에 대하여 <math>v_p</math>를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.
  
<math>\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2</math>
+
위 식의 양변을 <math>n</math>으로 나누면, 다음의 [[디오판투스 방정식]]을 얻는다:
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:<math>2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})\label{dioph}</math>
  
따라서 <math>n_1=n_2=1</math> 을 얻고, 이 경우 <math>\Gamma</math>는 크기가 n인 순환군이다.
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<math>n\geq 2</math> 이고, <math>1\leq 2-\frac{2}{n}< 2</math>, <math>\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1</math> 이므로,  총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.  
  
 
+
* [[번사이드 보조정리]]를 이용하여 \ref{dioph}를 얻을 수도 있다
  
궤도가 3개인 경우
 
  
<math>1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}</math>
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===궤도가 2개인 경우===
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* \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다
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:<math>\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2</math>
  
<math>(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{2}{n}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)</math> 를 얻는다.
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따라서 <math>n_1=n_2=1</math> 을 얻고, 이 경우 <math>\Gamma</math>는 크기가 n인 순환군이다.
  
각각의 경우
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===궤도가 3개인 경우===
 
+
* \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다
 
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:<math>1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}</math>
 
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해는 다음과 같다
<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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:<math>(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{n}{2}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)</math>
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각각의 경우는 정이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군에 해당한다
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==관련된 항목들==
 
* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
 
* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
  
 
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==관련도서==
 
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Hermann Weyl, Appendix, [http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0691023743/ebk-20/ Symmetry]
<h5>참고할만한 자료</h5>
 
 
 
*  Appendix of the book '[http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0691023743/ebk-20/ Symmetry]'<br>
 
 
** [[2086890/attachments/1006856|Weyl_on_platonic_solids.pdf]]
 
** [[2086890/attachments/1006856|Weyl_on_platonic_solids.pdf]]
** Hermann Weyl's
 
  
 
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==사전형태의 자료==
 
 
<h5>사전형태의 자료</h5>
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
*  http://en.wikipedia.org/wiki/<br>
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*  http://en.wikipedia.org/wiki/
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_polyhedral_group#Binary_polyhedral_groups
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_polyhedral_group#Binary_polyhedral_groups
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_cyclic_group
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_cyclic_group
102번째 줄: 86번째 줄:
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_octahedral_group
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_octahedral_group
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_icosahedral_group
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_icosahedral_group
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==관련논문==
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* Bakry, Dominique, and Xavier Bressaud. ‘Diffusions with Polynomial Eigenvectors via Finite Subgroups of O(3)’. arXiv:1507.01394 [math], 6 July 2015. http://arxiv.org/abs/1507.01394.
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7208207 Q7208207]
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===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'point'}, {'LOWER': 'groups'}, {'LOWER': 'in'}, {'LOWER': 'three'}, {'LEMMA': 'dimension'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:46 기준 최신판

개요


SU(2)의 유한부분군

  • binary polyhedral groups
  • binary Tetrahedral groups
    • \(\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}\)
    • group of order 24



분류 정리의 증명

\(\Gamma\) 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.

각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.

각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 \(v_p\geq 2\)인 순환군이 된다.

\(\Gamma\)에 의한 p의 궤도의 집합을 \(C_p\)라 하면, \(|C_p|=\frac{n}{v_p}\)가 된다.

이제 집합 \(S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}\) 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.

1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, \(|S|=2(n-1)\)

2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 \(v_p-1\) 이므로, \(|S|=\sum_{p}(v_p-1)\)

극점들을 움직이는 \(\Gamma\)에 의한 궤도 \(C\)의 크기를 \(n_{C}\)라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다 : \[2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)\] 여기서 \(v_C\)는 궤도 \(C\)의 원소 \(p\)에 대하여 \(v_p\)를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.

위 식의 양변을 \(n\)으로 나누면, 다음의 디오판투스 방정식을 얻는다: \[2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})\label{dioph}\]

\(n\geq 2\) 이고, \(1\leq 2-\frac{2}{n}< 2\), \(\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1\) 이므로, 총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.


궤도가 2개인 경우

  • \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다

\[\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2\]

따라서 \(n_1=n_2=1\) 을 얻고, 이 경우 \(\Gamma\)는 크기가 n인 순환군이다.


궤도가 3개인 경우

  • \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다

\[1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}\] 해는 다음과 같다 \[(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{n}{2}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)\] 각각의 경우는 정이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군에 해당한다


관련된 항목들


관련도서


사전형태의 자료


관련논문

  • Bakry, Dominique, and Xavier Bressaud. ‘Diffusions with Polynomial Eigenvectors via Finite Subgroups of O(3)’. arXiv:1507.01394 [math], 6 July 2015. http://arxiv.org/abs/1507.01394.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'point'}, {'LOWER': 'groups'}, {'LOWER': 'in'}, {'LOWER': 'three'}, {'LEMMA': 'dimension'}]