5차방정식과 근의 공식

개요

• 표준적인 증명은 거듭제곱근 체확장(radical extension) 과 가해군(solvable group) 항목을 참조

방정식의 근의 공식

• 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
• 2차 방정식의 근의 공식 \[ax^2+bx+c=0\] \[x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

• 3차, 4차 방정식의 근의 공식\[x^3 + px + q = 0\]\[x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]

거듭제곱근 체확장

• 체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
• 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
• 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
• 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
• 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
• 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.

5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명

• 5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명

5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

• 5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

대수학의 표준적인 증명

• 갈루아 이론을 사용하는 증명
• \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
• 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
• 갈루아군은 \(S_5\)은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
• 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다

일반적인 n차 방정식

• \(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
• \(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
• 방정식

\[x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\]

메모

• http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html

역사

• 1820년대 아벨에 의해 증명
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 추상대수학
• 고교생도 이해할 수 있는 군론 입문
• 군론
• 갈루아 이론
• 체론(field theory)
• 오차방정식과 정이십면체

수학용어번역

• radical - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension

관련논문

• Variations on the theme of solvability by radicals
  • A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
• On solvability and unsolvability of equations in explicit form
  • A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
• Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
  • Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505

관련도서

• Abel's Proof
  • Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p
• Galois' Theory of Algebraic Equations
  • Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations
• Elliptic functions and elliptic integrals
  • Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation

메타데이터

위키데이터

• ID : Q313421

Spacy 패턴 목록

• [{'LEMMA': 'Abel'}]