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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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* 표준적인 증명은 [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 과 [[가해군(solvable group)]] 항목을 참조
  
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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==방정식의 근의 공식==
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*  방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
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* [[2차 방정식의 근의 공식]] :<math>ax^2+bx+c=0</math> :<math>x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]:<math>x^3 + px + q = 0</math>:<math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math>:<math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math>
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==거듭제곱근 체확장==
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*  체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 [[체론(field theory)]] 항목을 참조
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* [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]] 항목에서 자세히 다룸
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*  방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 <math>F=R_0</math>
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*  적당한 원소 <math>a_0 \in R_0</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math>
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*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, 거듭제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 추가하여 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math>
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*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.
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==5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명==
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* [[5차방정식의 근의 공식과 아벨의 증명|5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명]]
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==5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론==
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* [[5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론]]
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==대수학의 표준적인 증명==
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* 갈루아 이론을 사용하는 증명
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* <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math>는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
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* 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
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* 갈루아군은 <math>S_5</math>은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
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* 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다
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==일반적인 n차 방정식==
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* <math>K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)</math>
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* <math>F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)</math>
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* 방정식
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:<math>x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0</math>
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==메모==
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* http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html
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==역사==
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*  1820년대 아벨에 의해 증명
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
  
 
* [[추상대수학]]
 
* [[추상대수학]]
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* [[고교생도 이해할 수 있는 군론 입문]]
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* [[군론(group theory)|군론]]
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* [[갈루아 이론]]
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* [[체론(field theory)]]
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* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]]
  
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
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==수학용어번역==
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* {{수학용어집|url=radical}}
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
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* http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension
  
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* [[추상대수학의 토픽들]]
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* [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식]]
 
  
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
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==관련논문==
  
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* [http://www.springerlink.com/content/0620513v46601g12/ Variations on the theme of solvability by radicals]
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** A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,    Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
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* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]
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** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
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* [http://www.jstor.org/stable/2974763 Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree]
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** Michael I. Rosen, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
  
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<h5>위키링크</h5>
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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==관련도서==
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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*  Abel's Proof
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** Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p
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* [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]
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** Jean-Pierre Tignol, Chapter 13.  Ruffini and Abel on general equations
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* [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals]
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** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation
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[[분류:방정식과 근의 공식]]
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[[분류:추상대수학]]
  
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*  Abel's Proof<br>
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==메타데이터==
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** Peter Pesic
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===위키데이터===
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**  Chapter 4 'Spirals and Seashores' 68-75p 에서 가져옴<br>  <br>
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q313421 Q313421]
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* [http://www.amazon.com/Galois-Theory-Algebraic-Equations-Jean-Pierre/dp/9810245416/ref=sr_1_1/192-3053250-5244809?ie=UTF8&s=books&qid=1228931227&sr=1-1 Galois' Theory of Algebraic Equations]<br>
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===Spacy 패턴 목록===
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** Jean-Pierre Tignol
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* [{'LEMMA': 'Abel'}]
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** Chapter 13.  Ruffini and Abel on general equations ([[2284146/attachments/1015504|pdf]])
 
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* [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals][http://www.amazon.com/exec/obidos/search-handle-url/ref=ntt_athr_dp_sr_1?%5Fencoding=UTF8&search-type=ss&index=books&field-author=Viktor%20Prasolov ]<br>
 
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** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev
 
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** 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation [[2284146/attachments/1099008|(pdf)]]
 

2021년 2월 17일 (수) 03:46 기준 최신판

개요




방정식의 근의 공식

  • 방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
  • 2차 방정식의 근의 공식 \[ax^2+bx+c=0\] \[x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \quad x_2=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
  • 3차, 4차 방정식의 근의 공식\[x^3 + px + q = 0\]\[x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\]\[x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \]




거듭제곱근 체확장

  • 체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
  • 거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
  • 방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.




5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명



5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론



대수학의 표준적인 증명

  • 갈루아 이론을 사용하는 증명
  • \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
  • 두개의 복소수해와 3개의 실수해를 가짐
  • 갈루아군은 \(S_5\)은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다
  • 따라서 이 방정식의 해는 유리수로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 사용하여 표현가능하지 않다


일반적인 n차 방정식

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)
  • 방정식

\[x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\]


메모


역사


관련된 항목들



수학용어번역

  • radical - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료


관련논문



관련도서

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'Abel'}]
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