숫자 5

" I like explicit, hands-on formulas. To me they have a beauty of their own. They can be deep or not. As an example, imagine you have a series of numbers such that if you add 1 to any number you will get the product of its left and right neighbors. Then this series will repeat itself at every fifth step! For instance, if you start with 3, 4 then the sequence continues: 3, 4, 5/3, 2/3, 1, 3, 4, 5/3, etc. The difference between a mathematician and a nonmathematician is not just being able to discover something like this, but to care about it and to be curious about why it's true, what it means, and what other things in mathematics it might be connected with. In this particular case, the statement itself turns out to be connected with a myriad of deep topics in advanced mathematics: hyperbolic geometry, algebraic K-theory, the Schrodinger equation of quantum mechanics, and certain models of quantum field theory. I find this kind of connection between very elementary and very deep mathematics overwhelmingly beautiful." Don Zagier (Mathematicians: An Outer View of the Inner World)

x ˙ = σ ( y − x ) y ˙ = ρ x − y − x z z ˙ = − β z + x y

(http://math.stackexchange.com/questions/11650/what-is-the-connection-of-the-sequence-3-4-5-3-2-3-1-with-deep-topics 에서 발견함)

\(x_{i}+1=x_{i-1}x_{i+1}\), \(x_0=a\), \(x_1=b\)로 정의된 점화식이 있다고 하자.

계산을 해보면, 다음과 같은 수열을 얻게 된다.

\(a,b,\frac{1+b}{a},\frac{1+a+b}{a b},\frac{1+a}{b},a,b,\frac{1+b}{a},\frac{1+a+b}{a b},\frac{1+a}{b}\cdots\)

주기가 5인 수열이 됨을 확인할 수 있다.

\(a=3,b=4\) 인 경우라면, 위에서처럼 3,4,5/3,2/3,1,3,4,5/3 … 을 얻게 된다.

실제로 나는 요즘 이 주기가 5인 수열과 씨름을 하는 중인데, 위의 말대로 많은 흥미진진한 깊은 수학들이 만나는 곳이라는 생각이 든다.

이러한 수열이 등장하는 수학의 하나로 클러스터 대수(cluster algebra)라는 것이 있는데, 이에 대해 알아보고 싶다면, Andrei Zelevinsky,What is... a Cluster Algebra,Notices of the AMS,54 (2007),no .11,494-1495 를 참고해 볼 것.

로저스 다이로그 함수 \(L(x)\) 는 다음과 같이 정의된다.

\(x\in [0,1]\) 일 때, \(L(x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}dy\)

함수의 그래프는 다음과 같이 생겼다.

\(L(0)=0\), \(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\) 와 같은 값을 가진다.

이 함수가 만족시키는 가장 중요한 성질로 5항 관계식 (5-term relation) 이라는 것이 있는데, 다음과 같다.

\(0\leq x,y\leq 1\) 일 때, \(L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}\)

가령 \(x=y=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)\) 로 두면, \(x=1-x y=y=\frac{1-y}{1-x y}=\frac{1-x}{1-x y}=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)\) 가 되어,

\(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}\) 를 얻을 수 있다.

즉 \(\int_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\frac{\log(1-t)}{t}+\frac{\log(t)}{1-t}dt=-\frac{\pi^2}{5}\) 과 같은 식이 성립하는 것이다.

지난 글에서 \(x_{i}+1=x_{i-1}x_{i+1}\), \(x_0=a\), \(x_1=b\)로 정의된 점화식이 주기 5인 수열을 정의한다고 했는데, \(x_{i}\to -x_{i}\) 로 부호만 바꿔주면,

\(1-x_{i}=x_{i-1}x_{i+1}\)로 정의되는 수열도 주기 5를 가진다는 것을 알 수 있다.

이 수열의 초기조건을 \(x_0=x, x_1=1-xy\)로 두면,

\(x,1-x y,y,\frac{1-y}{1-x y},\frac{1-x}{1-x y},x,1-x y,\cdots\) 를 얻게 된다.

위에서 서술한 로저스 다이로그 함수의 5항 관계식에 등장하는 \(x, 1-x y,y, \frac{1-y}{1-x y}, \frac{1-x}{1-x y}\) 이 나타나는 것이다.

모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

예전에도 로저스-라마누잔 연분수 이야기에서,

\(\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} \)

와 같은 식을 언급한 적이 있었는데, \(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}\)와 같은 사실을 이용하면, 이러한 식의 배후라고 할 수 있는 로저스-라마누잔 항등식 같은 것을 이해하는데 도움을 얻는다.

가령,

\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}\)

\(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}\)

이라면, \(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\sim 0\) 일 때,

\(H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\)

\(G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\)

와 같은 식을 보이는데 쓸 수 있다.

로저스-라마누잔 연분수

쌍곡기하학