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==개요==
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* 다음과 같은 형태로 주어지는 수를 연분수라 한다
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* 다음과 같은 경우를 단순연분수라 한다
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c=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+\cdots}}}}}
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* 이를 <math>c=[a_0;a_1,a_2,\cdots]</math>로 표현한다
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* convergents <math>c_n=[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]</math>를 정의
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* <math>c_n</math>의 분자 <math>p_n</math>와 분모 <math>q_n</math>로 이루어진 수열에 대하여 다음이 성립한다
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p_{n} & p_{n+1} \\
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* <math>p_n</math>과 <math>q_n</math>에 대해서는 [[Continuant]] 항목을 참조
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==예==
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===루트 2===
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* 루트 2의 연분수 전개는 <math>[1;2,2,2,\cdots]</math>, 즉 다음과 같이 주어진다
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:<math>\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}</math>
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* convergents <math>\{c_n\}_{n\geq 0}</math>는 다음과 같이 주어진다
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\begin{array}{c|cccccccccc}
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n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
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c_n & 1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{5} & \frac{17}{12} & \frac{41}{29} & \frac{99}{70} & \frac{239}{169} & \frac{577}{408} & \frac{1393}{985} & \frac{3363}{2378} \\
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\end{array}
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* <math>c_n</math>의 분자 <math>p_n</math>와 분모 <math>q_n</math>로 이루어진 수열을 생각하자
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* 다음이 성립한다
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** <math>p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n-1}</math>
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p_{n} & p_{n+1} \\
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** <math>p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=3</math>
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** <math>q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=2</math>
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* [[2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)]]
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===황금비===
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* 황금비의 연분수 전개는 <math>[1;1,1,1,\cdots]</math>, 즉 다음과 같이 주어진다
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:<math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>
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* convergents <math>\{c_n\}_{n\geq 0}</math>는 다음과 같이 주어진다
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:<math>
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\begin{array}{c|cccccccccc}
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n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
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\hline
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c_n & 1 & 2 & \frac{3}{2} & \frac{5}{3} & \frac{8}{5} & \frac{13}{8} & \frac{21}{13} & \frac{34}{21} & \frac{55}{34} & \frac{89}{55} \\
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\end{array}
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</math>
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* <math>c_n</math>의 분자 <math>p_n</math>와 분모 <math>q_n</math>로 이루어진 수열을 생각하자
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:<math>
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\begin{array}{c|cccccccccc}
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n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
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\hline
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p_n & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 \\
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q_n & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 \\
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\end{array}
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</math>
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* 다음이 성립한다
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** <math>
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\begin{vmatrix}
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p_{n} & p_{n+1} \\
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q_{n} & q_{n+1}
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\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}
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</math>
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** <math>p_{n+1}=p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=2</math>
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** <math>q_{n+1}=q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=1</math>
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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* [[연분수와 유리수 근사]]
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* [[가우스의 연분수]]
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* [[로저스-라마누잔 연분수]]
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* [[타자의 타율과 연분수]]
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* [[원주율과 연분수 Brouncker 의 공식]]
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* [[킨친 상수]]
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* [[2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)]]
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* [[자렘바의 추측]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxaVhxcXc2U1hoMU0/edit
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==관련논문==
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* Bengoechea, Paloma. ‘On a Theorem of Serret on Continued Fractions’. arXiv:1301.5944 [math], 24 January 2013. http://arxiv.org/abs/1301.5944.
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[[분류:정수론]]
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[[분류:연분수]]

2020년 12월 28일 (월) 02:44 기준 최신판

개요

  • 다음과 같은 형태로 주어지는 수를 연분수라 한다

\[a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\frac{b_4}{a_4+\frac{b_5}{a_5+\frac{b_6}{a_6+\frac{b_7}{a_7+\frac{b_8}{a_8+\frac{b_9}{a_9+\frac{b_{10}}{a_{10}}}}}}}}}}}\]

  • 다음과 같은 경우를 단순연분수라 한다

\[ c=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+\cdots}}}}} \]

  • 이를 \(c=[a_0;a_1,a_2,\cdots]\)로 표현한다
  • convergents \(c_n=[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)를 정의
  • \(c_n\)의 분자 \(p_n\)와 분모 \(q_n\)로 이루어진 수열에 대하여 다음이 성립한다
    • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n+1} \)
    • \(p_{n+1}=a_{n+1}p_n+p_{n-1}\)
    • \(q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}\)
  • \(p_n\)과 \(q_n\)에 대해서는 Continuant 항목을 참조


예

루트 2

  • 루트 2의 연분수 전개는 \([1;2,2,2,\cdots]\), 즉 다음과 같이 주어진다

\[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]

  • convergents \(\{c_n\}_{n\geq 0}\)는 다음과 같이 주어진다

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{5} & \frac{17}{12} & \frac{41}{29} & \frac{99}{70} & \frac{239}{169} & \frac{577}{408} & \frac{1393}{985} & \frac{3363}{2378} \\ \end{array} \]

  • \(c_n\)의 분자 \(p_n\)와 분모 \(q_n\)로 이루어진 수열을 생각하자

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline p_n & 1 & 3 & 7 & 17 & 41 & 99 & 239 & 577 & 1393 & 3363 \\ q_n & 1 & 2 & 5 & 12 & 29 & 70 & 169 & 408 & 985 & 2378 \\ \end{array} \]

  • 다음이 성립한다
    • \(p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n-1}\)
    • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n-1} \)
    • \(p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=3\)
    • \(q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=2\)
  • 2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)

황금비

  • 황금비의 연분수 전개는 \([1;1,1,1,\cdots]\), 즉 다음과 같이 주어진다

\[\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\]

  • convergents \(\{c_n\}_{n\geq 0}\)는 다음과 같이 주어진다

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & 2 & \frac{3}{2} & \frac{5}{3} & \frac{8}{5} & \frac{13}{8} & \frac{21}{13} & \frac{34}{21} & \frac{55}{34} & \frac{89}{55} \\ \end{array} \]

  • \(c_n\)의 분자 \(p_n\)와 분모 \(q_n\)로 이루어진 수열을 생각하자

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline p_n & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 \\ q_n & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 \\ \end{array} \]

  • 다음이 성립한다
    • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n-1} \)
    • \(p_{n+1}=p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=2\)
    • \(q_{n+1}=q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=1\)


메모



관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

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