"클리포드 대수와 스피너"의 두 판 사이의 차이
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* 이차형식이 주어진 벡터공간 <math>(V,Q)</math> | * 이차형식이 주어진 벡터공간 <math>(V,Q)</math> | ||
| − | * Q : | + | ** <math>Q:</math> <math>V</math>에 정의된 비퇴화된 이차형식 |
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| + | * 클리포드 대수는 <math>V</math>의 원소들로 생성되는 결합대수(associative algebra)로 다음 관계를 만족시킨다 | ||
** <math>v^2=Q(v)</math> | ** <math>v^2=Q(v)</math> | ||
** <math>vw+wv=2\langle w,v\rangle</math> | ** <math>vw+wv=2\langle w,v\rangle</math> | ||
| − | * exterior algebra 의 양자화로 이해하기도 한다 | + | * [[외대수(exterior algebra)와 겹선형대수(multilinear algebra)|외대수(exterior algebra,그라스만 대수)]]의 양자화로 이해하기도 한다 |
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* W의 원소를 스피너라 부른다 | * W의 원소를 스피너라 부른다 | ||
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| − | * 실수체 위에 정의된 8차원 대수 | + | * 실수체 위에 정의된 8차원 클리포드 대수 |
| + | * [[파울리 행렬]] 로부터 구성할 수 있다 | ||
* 3차원 유클리드 공간 <math>E_{3}</math>의 클리포드 대수 <math>C(E_{3})</math>와 동형이다 | * 3차원 유클리드 공간 <math>E_{3}</math>의 클리포드 대수 <math>C(E_{3})</math>와 동형이다 | ||
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| − | * <math>\gamma_{\mu}^2=\epsilon_{\mu}</math>, <math>\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}=0</math><math>\epsilon_{0}=1, \epsilon_{i}=-1</math> | + | * <math>\gamma_{\mu}^2=\epsilon_{\mu}</math>, <math>\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}=0</math>, <math>\epsilon_{0}=1, \epsilon_{i}=-1</math> |
* 4차원 표현이 존재한다 | * 4차원 표현이 존재한다 | ||
* 로렌츠 군의 사영표현을 얻을 수 있다 | * 로렌츠 군의 사영표현을 얻을 수 있다 | ||
* 로렌츠 군의 universal covering <math>H=SL(2,\mathbb{C})</math> 의 표현 | * 로렌츠 군의 universal covering <math>H=SL(2,\mathbb{C})</math> 의 표현 | ||
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| + | * 디랙은 양자역학의 상대론적 파동방정식([[디랙 방정식]])을 찾는 과정에서 디랙 스피너를 도입하였다 | ||
| + | * 여기서 [[라플라시안(Laplacian)]] 연산자의 제곱근을 찾는 문제를 생각하게 된다 | ||
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| + | \sqrt{\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \cdots+\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}}=? | ||
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| + | * 이 문제는 이차형식 <math>Q</math>이 선형형식의 완전제곱으로 쓰여질 수 있다는 클리포드 대수의 일반적인 성질과 관련이 있다 | ||
| + | * <math>n</math>차원 벡터공간 <math>V</math>의 기저를 <math>e_1,\cdots, e_n</math>라 두면, 클리포드 대수에서 다음 등식이 성립한다 | ||
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| + | Q(a_1e_1+\cdots+a_ne_n)=(a_1e_1+\cdots+a_ne_n)^2 | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | * [[디랙 방정식]] | |
| + | * [[스핀과 파울리의 배타원리]] | ||
| + | * [[하이젠베르크 군과 대수]] | ||
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| − | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra |
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| + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
| + | * James M. Chappell, Azhar Iqbal, John G. Hartnett, Derek Abbott, The vector algebra war: a historical perspective, arXiv:1509.00501 [physics.hist-ph], August 29 2015, http://arxiv.org/abs/1509.00501, 10.1109/ACCESS.2016.2538262, http://dx.doi.org/10.1109/ACCESS.2016.2538262, IEEE Access , vol.PP, no.99, pp.1-1, 2016 | ||
| + | * Chappell, James M., Azhar Iqbal, John G. Hartnett, and Derek Abbott. “The Vector Algebra War: A Historical Perspective.” arXiv:1509.00501 [physics], August 29, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.00501. | ||
| + | * Sobczyk, Garret. “Part II: Spacetime Algebra of Dirac Spinors.” arXiv:1507.06609 [math-Ph, Physics:quant-Ph], July 21, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06609. | ||
| + | * ———. “Part I: Vector Analysis of Spinors.” arXiv:1507.06608 [math-Ph, Physics:quant-Ph], July 21, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06608. | ||
| + | *Peter Woit의 강의 노트 | ||
| + | **[http://www.math.columbia.edu/~woit/notes17.pdf Clifford Algebras] | ||
| + | **[http://www.math.columbia.edu/~woit/notes18.pdf Spin Groups] | ||
| + | **[http://www.math.columbia.edu/~woit/notes19.pdf The Spinor Representation] | ||
* Lachièze-Rey, Marc. 2009. “Spin and Clifford Algebras, an Introduction”. <em>Advances in Applied Clifford Algebras</em> 19 (3-4): 687-720. doi:10.1007/s00006-009-0187-y. | * Lachièze-Rey, Marc. 2009. “Spin and Clifford Algebras, an Introduction”. <em>Advances in Applied Clifford Algebras</em> 19 (3-4): 687-720. doi:10.1007/s00006-009-0187-y. | ||
* [http://www.math.ucla.edu/%7Evsv/papers/ch5.pdf http://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/ch5.pdf] | * [http://www.math.ucla.edu/%7Evsv/papers/ch5.pdf http://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/ch5.pdf] | ||
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* Frescura, F. A. M. 1981. “Geometric interpretation of the Pauli spinor”. <em>American Journal of Physics</em> 49: 152. doi:[http://dx.doi.org/10.1119/1.12548 10.1119/1.12548.] | * Frescura, F. A. M. 1981. “Geometric interpretation of the Pauli spinor”. <em>American Journal of Physics</em> 49: 152. doi:[http://dx.doi.org/10.1119/1.12548 10.1119/1.12548.] | ||
* Vivarelli, Maria Dina. 1984. “Development of spinor descriptions of rotational mechanics from Euler’s rigid body displacement theorem”. <em>Celestial Mechanics</em> 32 (3월): 193-207. doi:[http://dx.doi.org/10.1007/BF01236599 10.1007/BF01236599]. | * Vivarelli, Maria Dina. 1984. “Development of spinor descriptions of rotational mechanics from Euler’s rigid body displacement theorem”. <em>Celestial Mechanics</em> 32 (3월): 193-207. doi:[http://dx.doi.org/10.1007/BF01236599 10.1007/BF01236599]. | ||
* Coquereaux, Robert. 2005. “Clifford algebras, spinors and fundamental interactions : Twenty Years After”. <em>arXiv:math-ph/0509040</em> (9월 19). http://arxiv.org/abs/math-ph/0509040. | * Coquereaux, Robert. 2005. “Clifford algebras, spinors and fundamental interactions : Twenty Years After”. <em>arXiv:math-ph/0509040</em> (9월 19). http://arxiv.org/abs/math-ph/0509040. | ||
| + | [[분류:리군과 리대수]] | ||
| + | [[분류:수리물리학]] | ||
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1196652 Q1196652] | |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
| − | + | * [{'LOWER': 'exterior'}, {'LEMMA': 'algebra'}] | |
| − | + | * [{'LOWER': 'grassmann'}, {'LEMMA': 'algebra'}] | |
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2021년 2월 17일 (수) 05:03 기준 최신판
개요
- 해밀턴의 사원수(quarternions)의 일반화
- 직교군의 스핀 표현 (spin representation) 을 구성하기 위한 도구
클리포드 대수
- \(K:\) 표수가 2가 아닌 체
- \(V:\) \(K\)위에 정의된 유한차원 벡터공간
- 이차형식이 주어진 벡터공간 \((V,Q)\)
- \(Q:\) \(V\)에 정의된 비퇴화된 이차형식
- 대칭겹선형 형식 \(\langle x,y \rangle\)
- 클리포드 대수는 \(V\)의 원소들로 생성되는 결합대수(associative algebra)로 다음 관계를 만족시킨다
- \(v^2=Q(v)\)
- \(vw+wv=2\langle w,v\rangle\)
- 외대수(exterior algebra,그라스만 대수)의 양자화로 이해하기도 한다
스피너
- 클리포드 대수의 벡터공간 \(W\) 에서의 표현(representation)을 생각하자
- W의 원소를 스피너라 부른다
파울리 스피너
- 실수체 위에 정의된 8차원 클리포드 대수
- 파울리 행렬 로부터 구성할 수 있다
- 3차원 유클리드 공간 \(E_{3}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{3})\)와 동형이다
- SO(3)의 사영표현을 얻을 수 있다
디랙 스피너
- 16차원 실대수
- 4차원 민코프스키 공간 \(E_{3,1}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{3,1})\) 와 동형
- \(\gamma_{\mu}^2=\epsilon_{\mu}\), \(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}=0\), \(\epsilon_{0}=1, \epsilon_{i}=-1\)
- 4차원 표현이 존재한다
- 로렌츠 군의 사영표현을 얻을 수 있다
- 로렌츠 군의 universal covering \(H=SL(2,\mathbb{C})\) 의 표현
- 디랙 행렬
디랙의 동기
- 디랙은 양자역학의 상대론적 파동방정식(디랙 방정식)을 찾는 과정에서 디랙 스피너를 도입하였다
- 여기서 라플라시안(Laplacian) 연산자의 제곱근을 찾는 문제를 생각하게 된다
\[ \sqrt{\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \cdots+\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}}=? \]
- 이 문제는 이차형식 \(Q\)이 선형형식의 완전제곱으로 쓰여질 수 있다는 클리포드 대수의 일반적인 성질과 관련이 있다
- \(n\)차원 벡터공간 \(V\)의 기저를 \(e_1,\cdots, e_n\)라 두면, 클리포드 대수에서 다음 등식이 성립한다
\[ Q(a_1e_1+\cdots+a_ne_n)=(a_1e_1+\cdots+a_ne_n)^2 \]
- 디랙 스피너를 도입하면 라플라시안의 제곱근에 해당하는 대상을 찾을 수 있게 된다
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
- http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra
- http://en.wikipedia.org/wiki/Spinors_in_three_dimensions
리뷰, 에세이, 강의노트
- James M. Chappell, Azhar Iqbal, John G. Hartnett, Derek Abbott, The vector algebra war: a historical perspective, arXiv:1509.00501 [physics.hist-ph], August 29 2015, http://arxiv.org/abs/1509.00501, 10.1109/ACCESS.2016.2538262, http://dx.doi.org/10.1109/ACCESS.2016.2538262, IEEE Access , vol.PP, no.99, pp.1-1, 2016
- Chappell, James M., Azhar Iqbal, John G. Hartnett, and Derek Abbott. “The Vector Algebra War: A Historical Perspective.” arXiv:1509.00501 [physics], August 29, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.00501.
- Sobczyk, Garret. “Part II: Spacetime Algebra of Dirac Spinors.” arXiv:1507.06609 [math-Ph, Physics:quant-Ph], July 21, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06609.
- ———. “Part I: Vector Analysis of Spinors.” arXiv:1507.06608 [math-Ph, Physics:quant-Ph], July 21, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06608.
- Peter Woit의 강의 노트
- Lachièze-Rey, Marc. 2009. “Spin and Clifford Algebras, an Introduction”. Advances in Applied Clifford Algebras 19 (3-4): 687-720. doi:10.1007/s00006-009-0187-y.
- http://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/ch5.pdf
- Frescura, F. A. M. 1981. “Geometric interpretation of the Pauli spinor”. American Journal of Physics 49: 152. doi:10.1119/1.12548.
- Vivarelli, Maria Dina. 1984. “Development of spinor descriptions of rotational mechanics from Euler’s rigid body displacement theorem”. Celestial Mechanics 32 (3월): 193-207. doi:10.1007/BF01236599.
- Coquereaux, Robert. 2005. “Clifford algebras, spinors and fundamental interactions : Twenty Years After”. arXiv:math-ph/0509040 (9월 19). http://arxiv.org/abs/math-ph/0509040.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q1196652
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'exterior'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
- [{'LOWER': 'grassmann'}, {'LEMMA': 'algebra'}]