정다각형의 대각선의 길이

개요

• 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이
• 편의상 \(n=\ell+2\)로 두자. 대각선의 길이 \(r_i\)는 다음과 같이 주어진다

\[r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi (i+1)}{\ell+2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{\ell+2}\right)},\quad i=0,1,\cdots,\ell\]

• \(r_0=1\), \(r_{\ell}=1\) 임을 확인할 수 있다
• 톨레미의 정리
• 그림은 정칠각형 의 경우

대각선이 만족시키는 항등식 1

• 다음을 만족한다

\[r_h\times r_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k} \label{pd}\] 여기서 \(0\leq k\leq h<n/2\)이고, 우변은 k+1개항의 합.

• 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ r_{h}\times r_{k}= r_{|h-k|}+ r_{|h-k|+2}+ \cdots + r_{\operatorname{min}(2\ell-(h+k),h+k)} \] 여기서 \(0\leq h,k \leq \ell\)

• 고등수학의 등각장론에서 fusion rule 로 등장한다

증명

다음과 같은 삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식 을 이용하자. \[\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}\] 이를 이용하여, 다음을 얻을 수 있다 \[\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}\] 따라서 \[r_h\times r_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\] ■

대각선이 만족시키는 항등식 2

• \(r_i\)는 다음의 점화식을 만족한다

\[r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq \ell-1\]

• \ref{pd}을 이용하여 증명할 수 있다
• 이는 제2종 체비셰프 다항식이 만족시키는 항등식 \(U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)\)과 같다

양자미적분학

• q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 에서 실수 n 의 q-analogue 로\[[n]_q =\frac{q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}} \] 와 같은 표현을 사용하기도 함
• \(q=e^{i\theta}\) 로 두면,\[[n]_q =\frac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}} =\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}\] 를 얻는다
• 정다각형의 대각선의 길이\[r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi (i+1)}{n}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}\] 와 유사한 표현을 얻는다
• 이는 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하여 quantum dimension을 정의할 때 등장하는 표현이다

예

정사각형의 대각선

• 루트2는 무리수이다

정사각형의 대각선의 길이

한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 루트 2가 됨을 보일수 있다. "루트2는 무리수" 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다.

정오각형의 대각선

방법1

정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율이 황금비가 된다는 것은 잘 알려진 사실이다. \[{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\]

정오각형의 한 변의 길이가 1인 경우, 즉 \(a=1\)인 경우에 b는 황금비가 된다.

증명

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC와 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해,

AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다.

\[b^2 - ab - a^2 = 0\] \[(\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\] ■

방법 2

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또 다른 방법의 하나는 평면기하의 톨레미의 정리를 이용하는 것이다. 톨레미의 정리는 다음과 같다 :

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다.

즉, 아래그림에서 \(\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}\) 이 성립한다.

톨레미의 정리를 적용해 보면, 사각형 ABCD가 원에 내접하고 있으므로, 두 대각선 AC와 BD의 길이의 곱으로부터 \(\overline{AC}\cdot \overline{BD}=b^2\)을 얻고, \(\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}=a^2+ab\)를 얻을 수 있다.

이로부터 \(b^2 - ab - a^2 = 0\)를 얻을 수도 있다.

정육각형의 대각선

정육각형의 대각선의 길이

각 변의 길이가 1인 정육각형의 대각선의 길이는 \(\sqrt{3}\)과 2가 되는데, 이는 정삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다면 어렵지 않게 구할 수 있다.

정칠각형의 대각선

• 정칠각형

정칠각형의 대각선의 길이

정칠각형의 대각선의 길이도 마찬가지로 톨레미의 정리를 여러번 적용하면 구할 수 있다.

한변의 길이 \(r_0=1\) 라 두고, 톨레미의 정리를 적용하면,

\(r_1^2=1+r_2\)

\(r_2r_1=r_1+r_2\)

\(r_2^2=r_2r_1+1\)

와 같은 관계를 얻을 수 있다.

이를 이용하면, 다음과 같은 사실들을 알 수 있다.

\(r_1\)은 \(x^3-x^2-2x+1=0\) 의 해이고, \(r_2\)은 \(x^3-2x^2-x+1=0\) 의 해이다.

(증명)

\(r_2=r_1^2-1\) 이므로, \(r_2r_1=r_1+r_2\)로부터 \(r_1(r_1^2-1)=r_1+r_1^2-1\).

\(r_2^2=r_2r_1+1=r_1+r_2+1\) 이므로, \(r_1=r_2^2-r_2-1\). 이제 \(r_2r_1=r_1+r_2\)로부터, \(r_2(r_2^2-r_2-1)=r_2^2-r_2-1+r_2\). ■

이제 3차 방정식을 풀면 된다.

메모

• 정다각형의 대각선의 길이, 피타고라스의 창
• http://www.math.rutgers.edu/~erowland/polygons.html
• http://twistedone151.wordpress.com/2010/10/25/monday-math-140/
• http://twistedone151.wordpress.com/2010/11/01/monday-math-141/
• * http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfTelescopingSum.html

관련된 항목들

• 사인곱

관련논문

• A. Fontaine and S. Hurley, Proof by picture: Products and reciprocals of diagonal length ratios in the regular polygon, Forum Geom., 6 (2006) 97–101.
• Lang, Wolfdieter. 2012. “The Field Q(2cos(pi/n)), Its Galois Group and Length Ratios in the Regular N-gon.” arXiv:1210.1018 (October 3). http://arxiv.org/abs/1210.1018.
• Formulas among diagonals in the regular polygon and the Catalan numbers

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxWDN2enlhYXdTbTZ6UDB6VWtIOEFVUQ