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* 직선과 직선 밖의 한 점이 주어져 있을 때, 한 점을 지나는 모든 직선은 주어진 직선과 만남. 즉 평행선은 존재하지 않음.
 
* 직선과 직선 밖의 한 점이 주어져 있을 때, 한 점을 지나는 모든 직선은 주어진 직선과 만남. 즉 평행선은 존재하지 않음.
 
* 세 각이 A,B,C 로 주어진 반지름 1인 구면삼각형의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math>
 
* 세 각이 A,B,C 로 주어진 반지름 1인 구면삼각형의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math>
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* 넓이는 양수가 되어야 하므로, <math>A+B+C>\pi</math>, 즉 삼각형의 세 내각의 합은 180보다 크게 됨
  
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==구면상의 미분기하학==
 
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==구면의 측지선==
 
평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 평면 위의 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.
 
평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 평면 위의 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.
  
 
[[파일:356px-RechtwKugeldreieck.svg.png]]
 
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문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 두겠습니다.
 
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*  손톱모양의 넓이<br> 북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.<br><br> 대원둘의 각도가 <math>\theta</math>로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 <math>2\theta</math>가 됩니다.<br> 넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 반지름이 1인 구면의 넓이는 <math>4\pi</math>라는 사실을 이용하면 됩니다.<br>
 
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[[파일:26lune.JPG]]
 
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(정리)
 
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세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math> 이다
 
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이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.
 
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(증명)
 
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위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.
 
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'''이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.'''<br> 세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.<br> 따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = <math>2\pi</math> (= 구면의 절반의 넓이)
 
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그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math>. ■
 
  
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==구면삼각형==
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* 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math> 이다
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* [[구면삼각형]] 항목 참조
  
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===삼각형의 세 각의 합===
 
* 한편 면적은 언제나 양수이므로, '''구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다'''!
 
* 한편 면적은 언제나 양수이므로, '''구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다'''!
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* 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요2012년 10월 31일 (수) 12:50 (PDT)!!!!!
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* 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요!!!!!
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==테셀레이션==
 
==테셀레이션==
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* 정다면체에 기반한 구면의 [[타일링과 테셀레이션|테셀레이션]]은 ( 3 3 2), (4 3 2), (5 3 2) 세 가지가 있다
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* 정다면체에 기반한 구면의 테셀레이션, 똑같이 생긴 삼각형들로 채울수 있는 경우
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* 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각
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:<math>\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
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! 구면기하학
 
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<br> ( 3 3 2)
 
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이 표의 그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각
 
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<math>\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>
 
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라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,
 
라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,
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:<math>\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}</math>
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가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. '''구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다.''' 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다.
  
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<math>\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}</math>
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==메모==
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* http://latexblue.mechanicalmischief.com/SphericalAngles.html
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* pole-polar duality
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가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. '''구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다.''' 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다. 
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==역사==
 
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* 1603 토마스 해리엇(Thomas Harriot)이 구면삼각형의 넓이 공식을 발견<br>
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* 1603 토마스 해리엇(Thomas Harriot)이 구면삼각형의 넓이 공식을 발견
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* 1629 Girard가 구면삼각형의 넓이 공식의 증명을 출판<br>
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* 1629 Girard가 구면삼각형의 넓이 공식의 증명을 출판
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=harriot+girard
 
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=spherical+triangle
 
 
* [[수학사 연표]]
 
* [[수학사 연표]]
  
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[구면삼각법]]
 
* [[가우스-보네 정리]]
 
* [[가우스-보네 정리]]
 
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
 
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
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* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]
 
* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]
 
* [[타일링과 테셀레이션|테셀레이션]]
 
* [[타일링과 테셀레이션|테셀레이션]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQnFTZHNoUmFfVkU/edit
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* [http://merganser.math.gvsu.edu/easel/ Spherical Easel A spherical drawing program]
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* [http://demonstrations.wolfram.com/SphericalTriangleSolutions/ Spherical Triangle Solutions]
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* [http://demonstrations.wolfram.com/DigonTilingOfAHosohedron/ Digon Tiling of a Hosohedron]
  
  
 
==사전형태의 자료==
 
==사전형태의 자료==
  
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC%EB%A9%B4%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99 http://ko.wikipedia.org/wiki/구면기하학]
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/구면기하학
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/spherical_geometry
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/spherical_geometry
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Harriot
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Harriot
  
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Papadopoulos, Athanase. “On the Works of Euler and His Followers on Spherical Geometry.” arXiv:1409.4736 [math], September 16, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.4736.
  
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==블로그==
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[[분류:구면기하학]]
  
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리], 피타고라스의 창
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q326905 Q326905]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'spherical'}, {'LEMMA': 'geometry'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:59 기준 최신판

개요

  • 구면(sphere) 위의 기하학
  • 측지선은 대원으로, 평면기하학에서 직선의 역할을 함
  • 직선과 직선 밖의 한 점이 주어져 있을 때, 한 점을 지나는 모든 직선은 주어진 직선과 만남. 즉 평행선은 존재하지 않음.
  • 세 각이 A,B,C 로 주어진 반지름 1인 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\)
  • 넓이는 양수가 되어야 하므로, \(A+B+C>\pi\), 즉 삼각형의 세 내각의 합은 180보다 크게 됨



구면상의 미분기하학


구면의 측지선

평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 평면 위의 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.

356px-RechtwKugeldreieck.svg.png


구면삼각형

  • 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\) 이다
  • 구면삼각형 항목 참조


삼각형의 세 각의 합

  • 한편 면적은 언제나 양수이므로, 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다!
  • 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요!!!!!


테셀레이션

  • 정다면체에 기반한 구면의 테셀레이션은 ( 3 3 2), (4 3 2), (5 3 2) 세 가지가 있다
  • 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각

\[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\] 라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면, \[\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}\] 가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. 구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다. 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다.


메모



역사

  • 1603 토마스 해리엇(Thomas Harriot)이 구면삼각형의 넓이 공식을 발견
  • 1629 Girard가 구면삼각형의 넓이 공식의 증명을 출판
  • 수학사 연표


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Papadopoulos, Athanase. “On the Works of Euler and His Followers on Spherical Geometry.” arXiv:1409.4736 [math], September 16, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.4736.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'spherical'}, {'LEMMA': 'geometry'}]
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