"삼각함수의 값"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 6개는 보이지 않습니다) | |||
| 3번째 줄: | 3번째 줄: | ||
* 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>x=a\pi</math>일 때 삼각함수의 값을 구하는 문제는 수학적으로 많이 연구되어 왔음 | * 유리수<math>a\in\mathbb{Q}</math>에 대하여 <math>x=a\pi</math>일 때 삼각함수의 값을 구하는 문제는 수학적으로 많이 연구되어 왔음 | ||
* [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]의 해와 깊은 관련이 있어, 본질적으로는 대수방정식을 푸는 문제로 이해할 수 있음 | * [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]의 해와 깊은 관련이 있어, 본질적으로는 대수방정식을 푸는 문제로 이해할 수 있음 | ||
| − | * 가령 [[가우스와 정17각형의 작도]]는 다음과 같은 코사인 값을 얻는 것과 같은 문제:<math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}</math | + | * 가령 [[가우스와 정17각형의 작도]]는 다음과 같은 코사인 값을 얻는 것과 같은 문제:<math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}</math> |
* [[정다각형의 대각선의 길이]] 문제와 깊은 연관 | * [[정다각형의 대각선의 길이]] 문제와 깊은 연관 | ||
| 30번째 줄: | 30번째 줄: | ||
:<math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}}+\sqrt{68+12 \sqrt{17}-4 \sqrt{170+38 \sqrt{17}}}\right)</math> | :<math>\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}}+\sqrt{68+12 \sqrt{17}-4 \sqrt{170+38 \sqrt{17}}}\right)</math> | ||
===테이블=== | ===테이블=== | ||
| − | + | :<math> | |
\begin{array}{c|c|c|c} | \begin{array}{c|c|c|c} | ||
n & \cos 2\pi /n & & \\ \hline | n & \cos 2\pi /n & & \\ \hline | ||
| 39번째 줄: | 39번째 줄: | ||
5 & \cos \left(\frac{2 \pi }{5}\right) & \frac{1}{4} \left(\sqrt{5}-1\right) & 0.3090169944 \\ \hline | 5 & \cos \left(\frac{2 \pi }{5}\right) & \frac{1}{4} \left(\sqrt{5}-1\right) & 0.3090169944 \\ \hline | ||
6 & \cos \left(\frac{2 \pi }{6}\right) & \frac{1}{2} & 0.5000000000 \\ \hline | 6 & \cos \left(\frac{2 \pi }{6}\right) & \frac{1}{2} & 0.5000000000 \\ \hline | ||
| − | 7 & \cos \left(\frac{2 \pi }{7}\right) & \frac{1}{6} \left(-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 | + | 7 & \cos \left(\frac{2 \pi }{7}\right) & \frac{1}{6} \left(-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}\right) & 0.6234898019 \\ \hline |
8 & \cos \left(\frac{2 \pi }{8}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0.7071067812 \\ \hline | 8 & \cos \left(\frac{2 \pi }{8}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0.7071067812 \\ \hline | ||
| − | 9 & \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right) & | + | 9 & \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right) & \frac{1}{2} \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1- \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+ \sqrt{-3}\right)}\right) & 0.7660444431 \\ \hline |
10 & \cos \left(\frac{2 \pi }{10}\right) & \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) & 0.8090169944 \\ \hline | 10 & \cos \left(\frac{2 \pi }{10}\right) & \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) & 0.8090169944 \\ \hline | ||
11 & \cos \left(\frac{2 \pi }{11}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{9/11} \left(1+(-1)^{4/11}\right) & 0.8412535328 \\ \hline | 11 & \cos \left(\frac{2 \pi }{11}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{9/11} \left(1+(-1)^{4/11}\right) & 0.8412535328 \\ \hline | ||
12 & \cos \left(\frac{2 \pi }{12}\right) & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0.8660254038 \\ \hline | 12 & \cos \left(\frac{2 \pi }{12}\right) & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0.8660254038 \\ \hline | ||
13 & \cos \left(\frac{2 \pi }{13}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{11/13} \left(1+(-1)^{4/13}\right) & 0.8854560257 \\ \hline | 13 & \cos \left(\frac{2 \pi }{13}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{11/13} \left(1+(-1)^{4/13}\right) & 0.8854560257 \\ \hline | ||
| − | 14 & \cos \left(\frac{2 \pi }{14}\right) & | + | 14 & \cos \left(\frac{2 \pi }{14}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{3} \left(5+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}\right)} & 0.9009688679 \\ \hline |
15 & \cos \left(\frac{2 \pi }{15}\right) & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)}+\frac{1}{8} \left(1+\sqrt{5}\right) & 0.9135454576 \\ \hline | 15 & \cos \left(\frac{2 \pi }{15}\right) & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)}+\frac{1}{8} \left(1+\sqrt{5}\right) & 0.9135454576 \\ \hline | ||
16 & \cos \left(\frac{2 \pi }{16}\right) & \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & 0.9238795325 \\ \hline | 16 & \cos \left(\frac{2 \pi }{16}\right) & \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & 0.9238795325 \\ \hline | ||
| 56번째 줄: | 56번째 줄: | ||
360 & \cos \left(\frac{2 \pi }{360}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{179/180} \left(1+\sqrt[90]{-1}\right) & 0.9998476952 | 360 & \cos \left(\frac{2 \pi }{360}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{179/180} \left(1+\sqrt[90]{-1}\right) & 0.9998476952 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
| − | + | </math> | |
===nested radicals=== | ===nested radicals=== | ||
| − | * 배각공식 | + | * 배각공식 <math>\cos 2\theta =2 \cos^2 \theta - 1</math>의 응용 |
| − | + | :<math> | |
\begin{array}{c|c|c|c} | \begin{array}{c|c|c|c} | ||
n & \cos \frac{\pi }{2^n} & & \\ \hline | n & \cos \frac{\pi }{2^n} & & \\ \hline | ||
| 71번째 줄: | 71번째 줄: | ||
8 & \cos \left(\frac{\pi }{2^8}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}} & 0.9999247018 | 8 & \cos \left(\frac{\pi }{2^8}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}} & 0.9999247018 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
| − | + | </math> | |
:<math>\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> | :<math>\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1</math> | ||
| 93번째 줄: | 93번째 줄: | ||
==메모== | ==메모== | ||
| − | + | * [http://math.la.asu.edu/~surgent/mat170/Exact_Trig_Values.pdf Exact Values of the Sine and Cosine Functions in Increments of 3 degrees] | |
| 102번째 줄: | 102번째 줄: | ||
* [[가우스와 정17각형의 작도]] | * [[가우스와 정17각형의 작도]] | ||
* [[원분체 (cyclotomic field)]] | * [[원분체 (cyclotomic field)]] | ||
| + | * [[원분다항식의 해법]] | ||
* [[정오각형]] | * [[정오각형]] | ||
* [[숫자 12와 24]] | * [[숫자 12와 24]] | ||
* [[무리수와 초월수]] | * [[무리수와 초월수]] | ||
| − | |||
==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUtRYUlQNmJHWG8/edit?usp=drivesdk | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUUtRYUlQNmJHWG8/edit?usp=drivesdk | ||
| 118번째 줄: | 118번째 줄: | ||
[[분류:원주율]] | [[분류:원주율]] | ||
[[분류:방정식과 근의 공식]] | [[분류:방정식과 근의 공식]] | ||
| + | |||
| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q2533727 Q2533727] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'exact'}, {'LOWER': 'trigonometric'}, {'LEMMA': 'constant'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:47 기준 최신판
개요
- 유리수\(a\in\mathbb{Q}\)에 대하여 \(x=a\pi\)일 때 삼각함수의 값을 구하는 문제는 수학적으로 많이 연구되어 왔음
- 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 해와 깊은 관련이 있어, 본질적으로는 대수방정식을 푸는 문제로 이해할 수 있음
- 가령 가우스와 정17각형의 작도는 다음과 같은 코사인 값을 얻는 것과 같은 문제\[\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}\]
- 정다각형의 대각선의 길이 문제와 깊은 연관
구하는 방법의 분류
- 중학교 수준에서는 이등변삼각형과 정삼각형에 대해 피타고라스의 정리를 사용하여 몇 가지 경우를 계산할 수 있음
- 더 일반적으로는 \(x^n-1=0\) 방정식의 복소수해를 구하여 실수부와 허수부로부터 \(\theta=m\pi/n\)인 경우의 코사인과 사인값을 얻을 수 있음
삼각함수의 값
예
\[\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5 -1}{4}\]
\[x=\cos\frac{2\pi}{7}=\frac{1}{6} \left(-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 i \sqrt{3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 i \sqrt{3}\right)}\right)\] 방정식 \(8 x^3+4 x^2-4 x-1=0\)의 해
\[\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}}+\sqrt{68+12 \sqrt{17}-4 \sqrt{170+38 \sqrt{17}}}\right)\]
테이블
\[ \begin{array}{c|c|c|c} n & \cos 2\pi /n & & \\ \hline 1 & \cos (2 \pi ) & 1 & 1.000000000 \\ \hline 2 & \cos \left(\frac{2 \pi }{2}\right) & -1 & -1.000000000 \\ \hline 3 & \cos \left(\frac{2 \pi }{3}\right) & -\frac{1}{2} & -0.5000000000 \\ \hline 4 & \cos \left(\frac{2 \pi }{4}\right) & 0 & 0 \\ \hline 5 & \cos \left(\frac{2 \pi }{5}\right) & \frac{1}{4} \left(\sqrt{5}-1\right) & 0.3090169944 \\ \hline 6 & \cos \left(\frac{2 \pi }{6}\right) & \frac{1}{2} & 0.5000000000 \\ \hline 7 & \cos \left(\frac{2 \pi }{7}\right) & \frac{1}{6} \left(-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}\right) & 0.6234898019 \\ \hline 8 & \cos \left(\frac{2 \pi }{8}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0.7071067812 \\ \hline 9 & \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right) & \frac{1}{2} \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1- \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+ \sqrt{-3}\right)}\right) & 0.7660444431 \\ \hline 10 & \cos \left(\frac{2 \pi }{10}\right) & \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) & 0.8090169944 \\ \hline 11 & \cos \left(\frac{2 \pi }{11}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{9/11} \left(1+(-1)^{4/11}\right) & 0.8412535328 \\ \hline 12 & \cos \left(\frac{2 \pi }{12}\right) & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0.8660254038 \\ \hline 13 & \cos \left(\frac{2 \pi }{13}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{11/13} \left(1+(-1)^{4/13}\right) & 0.8854560257 \\ \hline 14 & \cos \left(\frac{2 \pi }{14}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{3} \left(5+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1-3 \sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(1+3 \sqrt{-3}\right)}\right)} & 0.9009688679 \\ \hline 15 & \cos \left(\frac{2 \pi }{15}\right) & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)}+\frac{1}{8} \left(1+\sqrt{5}\right) & 0.9135454576 \\ \hline 16 & \cos \left(\frac{2 \pi }{16}\right) & \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & 0.9238795325 \\ \hline 17 & \cos \left(\frac{2 \pi }{17}\right) & \frac{1}{16} \left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}}+\sqrt{68+12 \sqrt{17}-4 \sqrt{170+38 \sqrt{17}}}\right) & 0.9324722294 \\ \hline 18 & \cos \left(\frac{2 \pi }{18}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{8/9} \left(1+(-1)^{2/9}\right) & 0.9396926208 \\ \hline 19 & \cos \left(\frac{2 \pi }{19}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{17/19} \left(1+(-1)^{4/19}\right) & 0.9458172417 \\ \hline 20 & \cos \left(\frac{2 \pi }{20}\right) & \sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}} & 0.9510565163 \\ \hline 120 & \cos \left(\frac{2 \pi }{120}\right) & \frac{1}{4}\sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}} & 0.9986295348 \\ \hline 360 & \cos \left(\frac{2 \pi }{360}\right) & -\frac{1}{2} (-1)^{179/180} \left(1+\sqrt[90]{-1}\right) & 0.9998476952 \end{array} \]
nested radicals
- 배각공식 \(\cos 2\theta =2 \cos^2 \theta - 1\)의 응용
\[ \begin{array}{c|c|c|c} n & \cos \frac{\pi }{2^n} & & \\ \hline 2 & \cos \left(\frac{\pi }{2^2}\right) & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0.7071067812 \\ \hline 3 & \cos \left(\frac{\pi }{2^3}\right) & \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & 0.9238795325 \\ \hline 4 & \cos \left(\frac{\pi }{2^4}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} & 0.9807852804 \\ \hline 5 & \cos \left(\frac{\pi }{2^5}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} & 0.9951847267 \\ \hline 6 & \cos \left(\frac{\pi }{2^6}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}} & 0.9987954562 \\ \hline 7 & \cos \left(\frac{\pi }{2^7}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}} & 0.9996988187 \\ \hline 8 & \cos \left(\frac{\pi }{2^8}\right) & \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}} & 0.9999247018 \end{array} \] \[\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\]
삼각함수의 값과 무리수
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q2533727
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'exact'}, {'LOWER': 'trigonometric'}, {'LEMMA': 'constant'}]