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* 수체 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$
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* $K$의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math>은 다음과 같다
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* <math>K</math>의 정수환 <math>\mathcal{O}_K</math>은 다음과 같다
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\mathcal{O}_K=\{a+b\omega|a,b\in \mathbb{Z}\}
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\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega|a,b\in \mathbb{Z}\}
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여기서 $\omega$는 $x^2+x+1=0$의 해. $\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ 또는 $\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$
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여기서 <math>\omega</math>는 <math>x^2+x+1=0</math>의 해. <math>\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}</math> 또는 <math>\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}</math>
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* $\mathcal{O}_K$의 원소를 아이젠슈타인 정수라 부른다
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* <math>\mathcal{O}_K</math>의 원소를 아이젠슈타인 정수라 부른다
 
* [[이차형식 x^2+xy+y^2]]의 공부에 자연스럽게 등장
 
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* [[3차 상호법칙]]의 무대를 제공
 
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==소 아이디얼 (prime ideal)==
 
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* 단위원 $\{-\omega -1,-1,-\omega ,\omega ,1,\omega +1\}$
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* 단위원 <math>\{-\omega -1,-1,-\omega ,\omega ,1,\omega +1\}</math>
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* $(3)=(1-\omega)^2$
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* $p\equiv 1\pmod 3$이면, $p=x^2-x y+y^2$를 만족시키는 $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$가 존재하며, $(p)=(x+y\omega)(x+y\omega^2)$
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* <math>p\equiv 1\pmod 3</math>이면, <math>p=x^2-x y+y^2</math>를 만족시키는 <math>(x,y)\in \mathbb{Z}^2</math>가 존재하며, <math>(p)=(x+y\omega)(x+y\omega^2)</math>
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* $p\equiv 2\pmod 3$이면, $(p)$는 소 아이디얼
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* <math>p\equiv 2\pmod 3</math>이면, <math>(p)</math>는 소 아이디얼
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* 아래 표에서 $\{x,y\}$는 $p=x^2-x y+y^2$의 정수해
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* 아래 표에서 <math>\{x,y\}</math>는 <math>p=x^2-x y+y^2</math>의 정수해
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  p & p \bmod 3 & x^2+x+1 \pmod p & \{x,y\} \\
 
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  71 & 2 & x^2+x+1 & \text{x}
 
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===테이블===
 
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* 소수 $p\in \mathbb{Z}$의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
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* $\pi$는 소 아이디얼의 생성원, $N(\pi)$는 norm
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  \pi  & N(\pi) \\
 
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==메모==
 
==메모==
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* $\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3$을 만족하면, $\alpha$를 primary라고 부른다
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* <math>\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]</math>가 <math>\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3</math>을 만족하면, <math>\alpha</math>를 primary라고 부른다
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** 이는 $\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b$와 동치
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
 
* [[가우스 정수]]
 
* [[가우스 정수]]
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* [[클라인 정수]]
 
* [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]]
 
* [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]]
 
* [[이차형식 x^2+xy+y^2]]
 
* [[이차형식 x^2+xy+y^2]]

2020년 11월 13일 (금) 09:18 기준 최신판

개요

  • 수체 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
  • \(K\)의 정수환 \(\mathcal{O}_K\)은 다음과 같다

\[ \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega|a,b\in \mathbb{Z}\} \] 여기서 \(\omega\)는 \(x^2+x+1=0\)의 해. \(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\) 또는 \(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)


소 아이디얼 (prime ideal)

  • 단위원 \(\{-\omega -1,-1,-\omega ,\omega ,1,\omega +1\}\)
  • \((3)=(1-\omega)^2\)
  • \(p\equiv 1\pmod 3\)이면, \(p=x^2-x y+y^2\)를 만족시키는 \((x,y)\in \mathbb{Z}^2\)가 존재하며, \((p)=(x+y\omega)(x+y\omega^2)\)
  • \(p\equiv 2\pmod 3\)이면, \((p)\)는 소 아이디얼
  • 아래 표에서 \(\{x,y\}\)는 \(p=x^2-x y+y^2\)의 정수해

\[ \begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 3 & x^2+x+1 \pmod p & \{x,y\} \\ \hline 2 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 3 & 0 & (x+2)^2 & \text{x} \\ 5 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 7 & 1 & (x+3) (x+5) & \{1,3\} \\ 11 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 13 & 1 & (x+4) (x+10) & \{1,-3\} \\ 17 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 19 & 1 & (x+8) (x+12) & \{2,-3\} \\ 23 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 29 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 31 & 1 & (x+6) (x+26) & \{1,6\} \\ 37 & 1 & (x+11) (x+27) & \{4,-3\} \\ 41 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 43 & 1 & (x+7) (x+37) & \{1,-6\} \\ 47 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 53 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 59 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \\ 61 & 1 & (x+14) (x+48) & \{4,9\} \\ 67 & 1 & (x+30) (x+38) & \{2,9\} \\ 71 & 2 & x^2+x+1 & \text{x} \end{array} \]


테이블

  • 소수 \(p\in \mathbb{Z}\)의 분해로부터 얻어지는 소 아이디얼의 나열
  • \(\pi\)는 소 아이디얼의 생성원, \(N(\pi)\)는 norm

\begin{array}{c|c} \pi & N(\pi) \\ \hline 2 & 4 \\ 1-\omega & 3 \\ 5 & 25 \\ 1+3 \omega & 7 \\ 2+3 \omega & 7 \\ 11 & 121 \\ 1-3 \omega & 13 \\ 4+3 \omega & 13 \\ 17 & 289 \\ 2-3 \omega & 19 \\ 5+3 \omega & 19 \\ 23 & 529 \\ 29 & 841 \\ 1+6 \omega & 31 \\ 5+6 \omega & 31 \\ 4-3 \omega & 37 \\ 7+3 \omega & 37 \\ 41 & 1681 \\ 1-6 \omega & 43 \\ 7+6 \omega & 43 \\ 47 & 2209 \end{array}


메모

  • \(\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]\)가 \(\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3\)을 만족하면, \(\alpha\)를 primary라고 부른다
    • 이는 \(\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b\)와 동치


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • prime - 대한수학회 수학용어집
    • prime ideal 소 아이디얼
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