"Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)"의 두 판 사이의 차이
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Pythagoras0 (토론 | 기여) |
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| (사용자 2명의 중간 판 68개는 보이지 않습니다) | |||
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| − | + | ==개요== | |
| − | + | * [[리만제타함수]]는 정수론, 특히 소수 연구에서 중요한 함수임 | |
| − | + | * 짝수에서의 리만 제타 함수의 값은 알려져 있다 [[정수에서의 리만제타함수의 값]] 항목 참조 | |
| − | + | :<math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math> | |
| − | + | * 홀수에서의 리만 제타함수에 대해서는 다음이 알려져 있다 | |
| − | + | ** <math>\zeta(3)</math>은 무리수. (초월수인지는 모름) | |
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| − | * [[리만제타함수]]는 정수론, 특히 소수 연구에서 | ||
| − | * 짝수에서의 리만 제타 함수의 값은 | ||
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| − | ** <math>\zeta(3)</math>은 무리수. ( | ||
** <math>\zeta(2n+1)</math> 중 무리수인 것은 무수히 많다. | ** <math>\zeta(2n+1)</math> 중 무리수인 것은 무수히 많다. | ||
| − | ** <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)</math> | + | ** <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)</math> 중 적어도 하나는 무리수이다. |
| + | * 1979년 아페리 (Apéry)는 <math>\zeta(3)</math> 이 무리수임을 보였으며, 이후로 <math>\zeta(3)</math> 는 [[아페리 상수]]라 불린다. | ||
| + | * 아페리의 아이디어에 대해서는 [[아페리(Apéry) 점화식]] 항목 참조 | ||
| + | * <math>\zeta(3)/\pi^3</math>가 유리수인지 무리수인지를 보이는 것은 아페리 상수에 대한 주요 미해결 문제 | ||
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| − | + | ==<math>\zeta(3)</math>이 무리수임의 증명== | |
| + | * '''[Beukers1979]''' 의 증명 | ||
| + | * '''[Huylebrouck2001] ''' 참조 | ||
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| − | + | ===증명의 아이디어=== | |
| − | + | 다음 조건을 만족하는 정수열 <math>p_n,q_n>0</math>과 상수 <math>\delta>0</math>가 존재함을 보일 수 있다 | |
| + | :<math>|\zeta(3)-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots</math> | ||
| + | 이로부터 [[무리수와 디오판투스 근사]]의 아이디어를 적용하여, <math>\zeta(3)</math>가 무리수임을 증명한다 | ||
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| − | + | ===보조정리 1=== | |
| − | < | + | 충분히 큰 n에 대하여, <math>1, 2, 3, \cdots, n</math> 의 최소공배수(<math>d_n</math>라 쓰자)는 <math>2.99^n</math> 보다 작다. |
| − | + | ([[1부터 n까지의 최소공배수]] 항목 참조) | |
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(증명) | (증명) | ||
| − | <math>d_n = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n\\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}</math> | + | <math>d_n = \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}</math> |
| − | [[소수정리]]에 의하여, <math>\pi(n) < \log2.99\cdot \frac{n}{\log n}</math> 그러므로 <math>n^{\pi(n)} < n^{\log_n 2.99^n} = 2.99^n</math> | + | [[소수정리]]에 의하여, 충분히 큰 n에 대하여 <math>\pi(n) < \log2.99\cdot \frac{n}{\log n}</math> 이 성립한다. 그러므로 <math>n^{\pi(n)} < n^{\log_n 2.99^n} = 2.99^n</math> |
| − | 그러므로 <math>d_n< | + | 그러므로 <math>d_n<2.99^n</math>. ■ |
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| − | + | ===보조정리 2=== | |
| − | r, | + | r, s 는 음 아닌 정수라 하자. |
| − | * r > s 이면 | + | * r > s 이면 |
| − | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy</math> | + | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy</math> 는 분모가 <math>d_r^2</math>의 약수인 유리수이다. |
** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy </math> 는 분모가 <math>d_r^3</math>의 약수인 유리수이다. | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy </math> 는 분모가 <math>d_r^3</math>의 약수인 유리수이다. | ||
| − | * r = s 이면 | + | * r = s 이면 |
** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy = \zeta(2) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^2}</math> | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy = \zeta(2) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^2}</math> | ||
| − | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy = 2(\zeta(3) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^3})</math | + | ** <math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy = 2(\zeta(3) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^3})</math> (여기서 r = 0 이면 <math>\sum_{j = 1}^{r}a_j = 0</math>이라 하자) |
| − | + | * [[이중적분과 바젤문제]] | |
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(증명) | (증명) | ||
| + | :<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(1+k+r+\delta ) (1+k+s+\delta )}</math> | ||
| − | + | 여기서 | |
| + | :<math>\frac{1}{ (1+k+s+\delta )}-\frac{1}{(1+k+r+\delta ) }=\frac{r-s}{(1+k+r+\delta ) (1+k+s+\delta )}</math> 를 이용하면, 감쇄급수가 된다. | ||
| − | + | 이를 이용하여 다음을 얻는다 : | |
| − | + | <math>r=s</math> 일 때, | |
| + | :<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(1+k+r+\delta )^2}</math> | ||
| + | <math>r>s</math> 일 때, | ||
| + | :<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{s+1+\delta}+\cdots +\frac{1}{r+\delta} \right)</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | <math> | + | 위 식의 양변을 <math>\delta</math>로 미분하면, |
| − | + | <math>r=s</math>일 때, | |
| + | :<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^{\delta +r} y^{\delta +s} \log (xy)}{1-xy}dxdy=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(1+k+r+\delta )^3}</math> | ||
| + | <math>r>s</math>일 때, | ||
| + | :<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^{\delta +r} y^{\delta +s} \log (xy)}{1-xy}dxdy=\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{(s+1+\delta)^2}+\cdots +\frac{1}{(r+\delta)^2} \right)</math>. | ||
| + | ■ | ||
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| − | + | ===보조정리 3=== | |
| − | + | <math>u, v, w \in (0,1)</math> 이면, :<math>\varphi(u, v, w) = \frac{u(1-u)v(1-v)w(1-w)}{1-(1-uv)w} \le \frac{1}{27}</math>. | |
| − | <math> | + | (<math>u, v, w \in (0,1)</math> 에서의 최대값은 <math>(\sqrt{2}-1)^4</math> 이다) [[다변수 함수의 임계점]] 항목 참조) |
(증명) | (증명) | ||
| − | <math> | + | [[산술기하조화평균과 부등식|산술기하 부등식]]에서, <math>1- (1-uv)w = (1-w) + uvw \ge 2\sqrt{1-w}\sqrt{uvw}</math>이다. 그러므로, :<math>\varphi(u,v,w) \le \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)uvw}(1-u)(1-v)</math> |
| + | <math>0<x<1</math>에서 <math>x(1-x)</math>의 최대값은 <math>\frac{1}{4}</math>이고, <math>x(1-x^2)</math>의 최대값은 <math>\frac{2}{3\sqrt{3}}</math>이다. 그러므로, | ||
| + | :<math>\begin{eqnarray*} \varphi(u,v,w) &\le& \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)w}\cdot\sqrt{u}(1-u)\cdot\sqrt{v}(1-v) \\ &\le& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\\ &=& \frac{1}{27} \end{eqnarray*} </math> | ||
| + | ■ | ||
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| − | + | '''정의''' | |
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| − | <math> | + | 정수 <math>n\geq 0</math> 에 대하여 다항식 <math>P_n</math>을 다음과 같이 정의하자. |
| − | + | <math>P_n(x) = \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\big(x^n(1-x)^n\big)</math> | |
| − | + | 이 다항식은 정수계수 다항식인것을 알 수 있다. (이 다항식은 본질적으로 [[르장드르 다항식]]이다) | |
| − | + | <math>P_{0}(x)=0</math>, <math>P_{1}(x)=1-2x</math>, <math>P_{2}(x)=1-6x-6x^2</math> | |
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| − | + | ||
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| − | + | ===보조정리 4=== | |
| − | + | <math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다. | |
| − | + | :<math>\int_0^1P_n(x)f (x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx</math>. | |
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| − | <math> | ||
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(증명) | (증명) | ||
| − | <math> | + | <math>Q(x)=x^n(1-x)^n</math> 라 두자. |
| − | + | <math>0\leq k < n</math> 일 때 <math>Q^{(k)}(0)=Q^{(k)}(1)=0</math>이므로. [[부분적분]]을 반복적용하면, | |
| + | :<math>\int_0^1Q^{(n)}(x)f (x)\,dx=-\int_0^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_0^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx</math> | ||
| + | :<math>P_n(x) = \frac{Q^{(n)}(x)}{n!}</math> 이므로 증명되었다. ■ | ||
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| − | + | '''정의''' | |
| − | <math>\int_0^1 \frac{ | + | <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy</math> 라고 하자. |
| − | + | ===보조정리 5=== | |
| − | <math> | + | <math>I_n = \frac{A_n + B_n\zeta(3)}{d_n^3}</math>를 만족하는 정수 <math>A_n,\ B_n</math>가 존재한다. |
| − | + | (증명) | |
| − | + | <math>P_n(x)P_n(y)</math>는 정수계수 다항식이다. 그러므로, '''보조정리 2'''에 의하여 위의 조건을 만족시키는 정수 <math>A_n,\ B_n</math>을 찾을 수 있다. ■ | |
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| − | + | ===보조정리6=== | |
| − | + | <math>0 <|I_{n}| < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}</math>. 즉, | |
| + | :<math>0 <|I_{n}|=|A_n + B_n \zeta(3)| d_n^{-3} < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}</math> 이 성립한다. | ||
| − | + | ||
| − | + | (증명) | |
| − | + | :<math>\int_0^1\frac{1}{1-(1-xy)z}dz = -\frac{\log(xy)}{1-xy}</math>이므로, | |
| + | :<math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz</math>라고 쓸 수 있다. | ||
| − | <math> | + | <math>f(x)=\frac{1}{1-(1-xy)z}</math>에 대하여 '''보조정리 4'''를 적용하자. |
| + | :<math>f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}</math> 이므로, | ||
| − | + | :<math> \int_0^1\frac{P_n(x)}{1-(1-xy)z} dx=\int_0^1P_n(x)f (x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx =\int_0^1\frac{x^{n}(1-x)^n(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}\,dx</math> 을 얻는다. | |
| − | + | 따라서 | |
| − | + | :<math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n (y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz</math> 이다. | |
| − | <math>w = \frac{1-z}{1-(1-xy)z}</math>로 치환하면, <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 | + | <math>w = \frac{1-z}{1-(1-xy)z}</math>로 치환하면, |
| + | :<math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw</math> 이다. | ||
| − | + | 이제 <math>g(y)=\frac{1}{1-(1-xy)w}</math>에 '''보조정리 4'''를 적용하자. | |
| + | :<math>g^{(n)}(y)=\frac{(-1)^{n}n!(xw)^{n}}{(1-(1-xy)w)^{n+1}}</math> 이므로, | ||
| − | + | :<math>\int_0^1\frac{P_n(y)}{1-(1-xy)w} dy=\int_0^1\frac{y^{n}(1-y)^n(xw)^{n}}{(1-(1-xy)w)^{n+1}}\,dy</math> 을 얻는다. | |
| − | + | 따라서 | |
| − | + | :<math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw =\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{\big(x(1-x)y(1-y)w (1-w)\big)^n}{\big(1 - (1-xy)w\big)^{n+1}} dxdydw</math> | |
| − | + | 이제 '''보조정리 2'''와 '''보조정리 3'''에 의해 | |
| + | :<math>I_n \leq \frac{1}{27^n} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1 - (1-xy)w}dwdxdy =\frac{1}{27^n}\int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}dxdy = \frac{2}{27^n}\zeta(3)</math> ■ | ||
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| − | + | ||
| + | ===귀류법을 이용한 증명의 마무리=== | ||
| − | 귀류법을 사용하자. 결론을 부정하여 <math>\zeta(3)</math>이 유리수, 예컨대 <math> | + | 귀류법을 사용하자. 결론을 부정하여 <math>\zeta(3)</math>이 유리수, 예컨대 <math>\zeta(3) = \frac{a}{b}</math> 라 하자 (a, b는 서로소인 자연수). |
| − | '''보조정리 1'''에 의하여, | + | '''보조정리 1'''과 '''보조정리 6'''에 의하여, |
| + | :<math>0 < |bA_n + aB_n| < 2b \zeta(3) \Big(\frac{d_n}{3^n}\Big)^3 < 2b \zeta(3) \Big(\frac{2.99}{3}\Big)^{3n} </math> | ||
| − | <math> | + | 충분히 큰 n을 잡으면, 자연수인 <math>|bA_n + aB_n|</math> 가 1보다 작아지므로 모순이다. |
| − | + | 그러므로, <math>\zeta(3)</math>은 무리수이다. ■ | |
| − | + | ==재미있는 사실== | |
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| + | * 같은 아이디어를 <math>\ln 2, \pi, \zeta(2)</math> 등이 무리수임을 보이는데 사용할 수 있다 [[파이 π는 무리수이다]] 항목 참조 | ||
* Math Overflow | * Math Overflow | ||
* http://mathoverflow.net/questions/30659/establishing-zeta3-as-a-definite-integral-and-its-computation/30698#30698 | * http://mathoverflow.net/questions/30659/establishing-zeta3-as-a-definite-integral-and-its-computation/30698#30698 | ||
| − | + | ||
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| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
| − | + | * 1978년 Roger Apéry에 의해 증명 | |
| + | * 1979년 Beukers | ||
| + | * [[수학사 연표]] | ||
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| − | + | ==메모== | |
| + | <math>\begin{eqnarray*} I_n &=& \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ P_n(y)}{1-(1-xy)z} d\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) dydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) yz \frac{\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)}{\big(1-(1-xy)z\big)^2} dxdydz \end{eqnarray*}</math> | ||
| − | + | ||
| − | < | + | 위 과정을 n번 반복하면 <math>I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n (y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz</math>이다. |
* http://www.math.uu.nl/people/beukers/caen.pdf | * http://www.math.uu.nl/people/beukers/caen.pdf | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]] | * [[정수에서의 리만제타함수의 값]] | ||
| + | * [[아페리(Apéry) 점화식]] | ||
| + | * [[아페리 상수]] | ||
| + | * [[파이 π는 무리수이다]] | ||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxa0FHaXRxa01wcnc/edit | ||
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| − | * | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Apéry's_theorem |
| − | * | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/아페리_상수 |
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| − | < | + | ==관련논문== |
| + | * Brown, Francis. ‘Irrationality Proofs for Zeta Values, Moduli Spaces and Dinner Parties’. arXiv:1412.6508 [math], 19 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.6508. | ||
| + | * Zudilin, W. W. 2001. “One of the Numbers Ζ(5), Ζ(7), Ζ(9), Ζ(11) Is Irrational.” Russian Mathematical Surveys 56 (4) (August 31): 774. doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427. | ||
| + | * [http://arxiv.org/abs/math/0201024 An Apéry-like difference equation for Catalan's constant] Wadim Zudilin, 2002 | ||
| + | * '''[Huylebrouck2001]'''[http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for <math>\pi</math>, <math>\ln 2</math>, <math>\zeta(2)</math> and <math>\zeta(3)</math> | ||
| + | ** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231 | ||
| + | * Beukers, F. 1987. “Irrationality Proofs Using Modular Forms.” Astérisque (147-148): 271–283, 345. | ||
| + | * '''[Beukers1979]'''[http://dx.doi.org/10.1112%2Fblms%2F11.3.268 A note on the irrationality of <math>\zeta(2)</math> and <math>\zeta(3)</math> | ||
| + | ** F. Beukers (1979). Bull. London Math. Soc. 11: 268\[Dash]272. | ||
| + | * A. van der Poorten [http://dx.doi.org/10.1007/FBF03028234 A proof that Euler missed ... Apéry's Proof of the irrationality of <math>\zeta(3)</math>], The Mathematical Intelligencer 1 (4): 195-203, 1979 | ||
| + | ** http://jones.math.unibas.ch/~massierer/algebra-hs11/vanderPoorten2.pdf | ||
| − | + | ==관련도서== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | * http://www.amazon.com/The-Number-Pi-Pierre-Eymard/dp/0821832468 4.4 | |
| + | [[분류:리만 제타 함수]] | ||
| + | [[분류:상수]] | ||
| + | [[분류:무리수와 초월수]] | ||
| + | [[분류:적분]] | ||
| − | + | == 리뷰, 에세이, 강의노트 == | |
| − | < | + | * F. M. S. Lima, Beukers-like proofs of irrationality for <math>ζ{(2)}</math> and <math>ζ{(3)}</math>, arXiv:1308.2720 [math.NT], August 12 2013, http://arxiv.org/abs/1308.2720 |
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * [ | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q965545 Q965545] |
| − | * [ | + | ===Spacy 패턴 목록=== |
| − | * [ | + | * [{'LOWER': 'roger'}, {'LEMMA': 'Apéry'}] |
| − | + | * [{'LOWER': 'roger'}, {'LEMMA': 'Apery'}] | |
2021년 2월 17일 (수) 03:55 기준 최신판
개요
- 리만제타함수는 정수론, 특히 소수 연구에서 중요한 함수임
- 짝수에서의 리만 제타 함수의 값은 알려져 있다 정수에서의 리만제타함수의 값 항목 참조
\[\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\]
- 홀수에서의 리만 제타함수에 대해서는 다음이 알려져 있다
- \(\zeta(3)\)은 무리수. (초월수인지는 모름)
- \(\zeta(2n+1)\) 중 무리수인 것은 무수히 많다.
- \(\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)\) 중 적어도 하나는 무리수이다.
- 1979년 아페리 (Apéry)는 \(\zeta(3)\) 이 무리수임을 보였으며, 이후로 \(\zeta(3)\) 는 아페리 상수라 불린다.
- 아페리의 아이디어에 대해서는 아페리(Apéry) 점화식 항목 참조
- \(\zeta(3)/\pi^3\)가 유리수인지 무리수인지를 보이는 것은 아페리 상수에 대한 주요 미해결 문제
\(\zeta(3)\)이 무리수임의 증명
- [Beukers1979] 의 증명
- [Huylebrouck2001] 참조
증명의 아이디어
다음 조건을 만족하는 정수열 \(p_n,q_n>0\)과 상수 \(\delta>0\)가 존재함을 보일 수 있다 \[|\zeta(3)-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots\] 이로부터 무리수와 디오판투스 근사의 아이디어를 적용하여, \(\zeta(3)\)가 무리수임을 증명한다
보조정리 1
충분히 큰 n에 대하여, \(1, 2, 3, \cdots, n\) 의 최소공배수(\(d_n\)라 쓰자)는 \(2.99^n\) 보다 작다.
(1부터 n까지의 최소공배수 항목 참조)
(증명)
\(d_n = \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} p^{\lfloor \log_p n \rfloor} \le \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} p^ {\log_p n} = \prod_{\substack{p\le n \\ p \mathrm{\ prime}}} n = n^{\pi(n)}\)
소수정리에 의하여, 충분히 큰 n에 대하여 \(\pi(n) < \log2.99\cdot \frac{n}{\log n}\) 이 성립한다. 그러므로 \(n^{\pi(n)} < n^{\log_n 2.99^n} = 2.99^n\)
그러므로 \(d_n<2.99^n\). ■
보조정리 2
r, s 는 음 아닌 정수라 하자.
- r > s 이면
- \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy\) 는 분모가 \(d_r^2\)의 약수인 유리수이다.
- \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy \) 는 분모가 \(d_r^3\)의 약수인 유리수이다.
- r = s 이면
- \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^r y^s}{1-xy}dxdy = \zeta(2) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^2}\)
- \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^r y^s \log(xy)}{1-xy}dxdy = 2(\zeta(3) - \sum_{j = 1}^{r}\frac{1}{j^3})\) (여기서 r = 0 이면 \(\sum_{j = 1}^{r}a_j = 0\)이라 하자)
- 이중적분과 바젤문제
(증명) \[\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(1+k+r+\delta ) (1+k+s+\delta )}\]
여기서 \[\frac{1}{ (1+k+s+\delta )}-\frac{1}{(1+k+r+\delta ) }=\frac{r-s}{(1+k+r+\delta ) (1+k+s+\delta )}\] 를 이용하면, 감쇄급수가 된다.
이를 이용하여 다음을 얻는다 \[r=s\] 일 때, \[\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(1+k+r+\delta )^2}\] \(r>s\) 일 때, \[\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x^{r+\delta} y^{s+\delta}}{1-xy}dxdy =\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{s+1+\delta}+\cdots +\frac{1}{r+\delta} \right)\]
위 식의 양변을 \(\delta\)로 미분하면,
\(r=s\)일 때, \[\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^{\delta +r} y^{\delta +s} \log (xy)}{1-xy}dxdy=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(1+k+r+\delta )^3}\] \(r>s\)일 때, \[\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{-x^{\delta +r} y^{\delta +s} \log (xy)}{1-xy}dxdy=\frac{1}{r-s}\left(\frac{1}{(s+1+\delta)^2}+\cdots +\frac{1}{(r+\delta)^2} \right)\]. ■
보조정리 3
\(u, v, w \in (0,1)\) 이면, \[\varphi(u, v, w) = \frac{u(1-u)v(1-v)w(1-w)}{1-(1-uv)w} \le \frac{1}{27}\].
(\(u, v, w \in (0,1)\) 에서의 최대값은 \((\sqrt{2}-1)^4\) 이다) 다변수 함수의 임계점 항목 참조)
(증명)
산술기하 부등식에서, \(1- (1-uv)w = (1-w) + uvw \ge 2\sqrt{1-w}\sqrt{uvw}\)이다. 그러므로, \[\varphi(u,v,w) \le \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)uvw}(1-u)(1-v)\] \(0<x<1\)에서 \(x(1-x)\)의 최대값은 \(\frac{1}{4}\)이고, \(x(1-x^2)\)의 최대값은 \(\frac{2}{3\sqrt{3}}\)이다. 그러므로, \[\begin{eqnarray*} \varphi(u,v,w) &\le& \frac{1}{2}\sqrt{(1-w)w}\cdot\sqrt{u}(1-u)\cdot\sqrt{v}(1-v) \\ &\le& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\\ &=& \frac{1}{27} \end{eqnarray*} \] ■
정의
정수 \(n\geq 0\) 에 대하여 다항식 \(P_n\)을 다음과 같이 정의하자.
\(P_n(x) = \frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\big(x^n(1-x)^n\big)\)
이 다항식은 정수계수 다항식인것을 알 수 있다. (이 다항식은 본질적으로 르장드르 다항식이다)
\(P_{0}(x)=0\), \(P_{1}(x)=1-2x\), \(P_{2}(x)=1-6x-6x^2\)
보조정리 4
\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\int_0^1P_n(x)f (x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx\].
(증명)
\(Q(x)=x^n(1-x)^n\) 라 두자.
\(0\leq k < n\) 일 때 \(Q^{(k)}(0)=Q^{(k)}(1)=0\)이므로. 부분적분을 반복적용하면, \[\int_0^1Q^{(n)}(x)f (x)\,dx=-\int_0^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_0^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx\] \[P_n(x) = \frac{Q^{(n)}(x)}{n!}\] 이므로 증명되었다. ■
정의
\(I_n = \int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}P_n(x)P_n(y) dxdy\) 라고 하자.
보조정리 5
\(I_n = \frac{A_n + B_n\zeta(3)}{d_n^3}\)를 만족하는 정수 \(A_n,\ B_n\)가 존재한다.
(증명)
\(P_n(x)P_n(y)\)는 정수계수 다항식이다. 그러므로, 보조정리 2에 의하여 위의 조건을 만족시키는 정수 \(A_n,\ B_n\)을 찾을 수 있다. ■
보조정리6
\(0 <|I_{n}| < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}\). 즉, \[0 <|I_{n}|=|A_n + B_n \zeta(3)| d_n^{-3} < 2\zeta(3)\frac{1}{27^n}\] 이 성립한다.
(증명)
\[\int_0^1\frac{1}{1-(1-xy)z}dz = -\frac{\log(xy)}{1-xy}\]이므로, \[I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz\]라고 쓸 수 있다.
\(f(x)=\frac{1}{1-(1-xy)z}\)에 대하여 보조정리 4를 적용하자. \[f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}\] 이므로,
\[ \int_0^1\frac{P_n(x)}{1-(1-xy)z} dx=\int_0^1P_n(x)f (x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx =\int_0^1\frac{x^{n}(1-x)^n(yz)^{n}}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}\,dx\] 을 얻는다.
따라서
\[I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n (y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz\] 이다.
\(w = \frac{1-z}{1-(1-xy)z}\)로 치환하면, \[I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw\] 이다.
이제 \(g(y)=\frac{1}{1-(1-xy)w}\)에 보조정리 4를 적용하자. \[g^{(n)}(y)=\frac{(-1)^{n}n!(xw)^{n}}{(1-(1-xy)w)^{n+1}}\] 이므로,
\[\int_0^1\frac{P_n(y)}{1-(1-xy)w} dy=\int_0^1\frac{y^{n}(1-y)^n(xw)^{n}}{(1-(1-xy)w)^{n+1}}\,dy\] 을 얻는다.
따라서
\[I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-x)^n (1-w)^n P_n(y)}{1-(1-xy)w} dydxdw =\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{\big(x(1-x)y(1-y)w (1-w)\big)^n}{\big(1 - (1-xy)w\big)^{n+1}} dxdydw\]
이제 보조정리 2와 보조정리 3에 의해 \[I_n \leq \frac{1}{27^n} \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{1}{1 - (1-xy)w}dwdxdy =\frac{1}{27^n}\int_0^1\int_0^1\frac{-\log(xy)}{1-xy}dxdy = \frac{2}{27^n}\zeta(3)\] ■
귀류법을 이용한 증명의 마무리
귀류법을 사용하자. 결론을 부정하여 \(\zeta(3)\)이 유리수, 예컨대 \(\zeta(3) = \frac{a}{b}\) 라 하자 (a, b는 서로소인 자연수).
보조정리 1과 보조정리 6에 의하여, \[0 < |bA_n + aB_n| < 2b \zeta(3) \Big(\frac{d_n}{3^n}\Big)^3 < 2b \zeta(3) \Big(\frac{2.99}{3}\Big)^{3n} \]
충분히 큰 n을 잡으면, 자연수인 \(|bA_n + aB_n|\) 가 1보다 작아지므로 모순이다.
그러므로, \(\zeta(3)\)은 무리수이다. ■
재미있는 사실
- 같은 아이디어를 \(\ln 2, \pi, \zeta(2)\) 등이 무리수임을 보이는데 사용할 수 있다 파이 π는 무리수이다 항목 참조
- Math Overflow
- http://mathoverflow.net/questions/30659/establishing-zeta3-as-a-definite-integral-and-its-computation/30698#30698
역사
- 1978년 Roger Apéry에 의해 증명
- 1979년 Beukers
- 수학사 연표
메모
\(\begin{eqnarray*} I_n &=& \int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ \frac{d}{dx}\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) P_n(y)}{1-(1-xy)z} dxdydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \frac{ P_n(y)}{1-(1-xy)z} d\Big(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)\Big) dydz \\ &=& \frac{1}{n!}\int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n(y) yz \frac{\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\big(x^n(1-x)^n\big)}{\big(1-(1-xy)z\big)^2} dxdydz \end{eqnarray*}\)
위 과정을 n번 반복하면 \(I_n = \int_0^1\int_0^1\int_0^1 P_n (y) \frac{(xyz)^n(1-x)^n}{\big(1-(1-xy)z\big)^{n+1}} dxdydz\)이다.
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Apéry's_theorem
- http://ko.wikipedia.org/wiki/아페리_상수
관련논문
- Brown, Francis. ‘Irrationality Proofs for Zeta Values, Moduli Spaces and Dinner Parties’. arXiv:1412.6508 [math], 19 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.6508.
- Zudilin, W. W. 2001. “One of the Numbers Ζ(5), Ζ(7), Ζ(9), Ζ(11) Is Irrational.” Russian Mathematical Surveys 56 (4) (August 31): 774. doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427.
- An Apéry-like difference equation for Catalan's constant Wadim Zudilin, 2002
- [Huylebrouck2001][http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for \(\pi\), \(\ln 2\), \(\zeta(2)\) and \(\zeta(3)\)
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
- Beukers, F. 1987. “Irrationality Proofs Using Modular Forms.” Astérisque (147-148): 271–283, 345.
- [Beukers1979][http://dx.doi.org/10.1112%2Fblms%2F11.3.268 A note on the irrationality of \(\zeta(2)\) and \(\zeta(3)\)
- F. Beukers (1979). Bull. London Math. Soc. 11: 268\[Dash]272.
- A. van der Poorten A proof that Euler missed ... Apéry's Proof of the irrationality of \(\zeta(3)\), The Mathematical Intelligencer 1 (4): 195-203, 1979
관련도서
리뷰, 에세이, 강의노트
- F. M. S. Lima, Beukers-like proofs of irrationality for \(ζ{(2)}\) and \(ζ{(3)}\), arXiv:1308.2720 [math.NT], August 12 2013, http://arxiv.org/abs/1308.2720
메타데이터
위키데이터
- ID : Q965545
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