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* 다음과 같이 쓰기도 한다
 
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:<math>j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}</math>
 
:<math>j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}</math>
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여기서 $g_2,g_3$는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]], [[바이어슈트라스 타원함수 ℘]] 항목 참조
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* quadratic imaginary number 에서의 값
 
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* 예 :
 
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$$j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3$$
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* [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]] 참조
 
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* 판별식이 -23인 세 이차형식 ([[숫자 23과 다항식 x³-x+1]] 참조)
 
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x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3
 
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의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자
 
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j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)$$
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j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)</math>
 
* 이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다
 
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x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375
 
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==푸리에 계수==
 
==푸리에 계수==
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* $j(\tau)=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n=q^{-1}+744+196884q+\cdots$로 두면, $c(n)$은 다음과 같이 주어진다
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* <math>j(\tau)=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n=q^{-1}+744+196884q+\cdots</math>로 두면, <math>c(n)</math>은 다음과 같이 주어진다
 
* 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
 
* 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
 
* 근사식 '''[Rademacher1938]'''
 
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여기서 <math>I_ 1</math> 은 [[베셀 함수]],
 
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:<math>A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }</math>  
 
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이 때, <math>hh'\equiv -1 \mod k</math>. $A_k(n)$은 [[클루스터만 합]]의 특수한 경우
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* 점근 급수
 
* 점근 급수
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:<math>
 
c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right)
 
c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right)
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==무한곱==
 
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* 다음이 성립한다 (http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_Lie_algebra)
 
* 다음이 성립한다 (http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_Lie_algebra)
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j(p)-j(q)= \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c(nm)}
 
j(p)-j(q)= \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c(nm)}
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==모듈라 다항식==
 
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* [[j-불변량과 모듈라 다항식]]
 
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* $\Phi_n\bigl(j(n\tau),j(\tau)\bigr)=0$를 만족하는 기약다항식 $\Phi_n(x,y)\in{\mathbb{
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* <math>\Phi_n\bigl(j(n\tau),j(\tau)\bigr)=0</math>를 만족하는 기약다항식 <math>\Phi_n(x,y)\in{\mathbb{
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Z}}[x,y]$이 존재하며, 이 때 차수는 $x,y$ 각각에 대하여 $\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)$로 주어진다
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Z}}[x,y]</math>이 존재하며, 이 때 차수는 <math>x,y</math> 각각에 대하여 <math>\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)</math>로 주어진다
  
  
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* Gross, Benedict H., and Don B. Zagier. 1985. “On Singular Moduli.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik. [Crelle’s Journal] 355: 191–220. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662
 
* Gross, Benedict H., and Don B. Zagier. 1985. “On Singular Moduli.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik. [Crelle’s Journal] 355: 191–220. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262662
 
* Cohen, Paula. 1984. “On the Coefficients of the Transformation Polynomials for the Elliptic Modular Function.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 95 (3): 389–402. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100061697.
 
* Cohen, Paula. 1984. “On the Coefficients of the Transformation Polynomials for the Elliptic Modular Function.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 95 (3): 389–402. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100061697.
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* Herrmann, Oskar. 1975. “Über Die Berechnung Der Fourierkoeffizienten Der Funktion $j(\tau )$.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik 274/275: 187–195. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002190532&IDDOC=253998
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* Herrmann, Oskar. 1975. “Über Die Berechnung Der Fourierkoeffizienten Der Funktion <math>j(\tau )</math>.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik 274/275: 187–195. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002190532&IDDOC=253998
 
* Lehmer, D. H. 1942. “Properties of the Coefficients of the Modular Invariant J(τ).” American Journal of Mathematics 64 (1) (January 1): 488–502. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2371699.
 
* Lehmer, D. H. 1942. “Properties of the Coefficients of the Modular Invariant J(τ).” American Journal of Mathematics 64 (1) (January 1): 488–502. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2371699.
 
* '''[Rademacher1938]''' Rademacher, Hans. 1938. “The Fourier Coefficients of the Modular Invariant J(τ).” American Journal of Mathematics 60 (2) (April 1): 501–512. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2371313.
 
* '''[Rademacher1938]''' Rademacher, Hans. 1938. “The Fourier Coefficients of the Modular Invariant J(τ).” American Journal of Mathematics 60 (2) (April 1): 501–512. doi:http://dx.doi.org/10.2307/2371313.
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[[분류:정수론]]
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[[분류:정수론]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q17099049 Q17099049]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'monster'}, {'LOWER': 'lie'}, {'LEMMA': 'algebra'}]

2021년 2월 17일 (수) 02:17 기준 최신판

개요

  • j-불변량
    • 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
  • 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
  • 복소 이차 수체의 class field 이론에서 중요한 역할
  • 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장


정의

  • \(q=e^{2\pi i\tau},\tau\in \mathbb{H}\)라 두자
  • 타원 모듈라 j-함수는 다음과 같이 정의된다

\[ j(\tau)= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \] 여기서 \[ E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots,\quad \sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\]는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), \[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\] 는 판별식 함수

  • 다음과 같이 쓰기도 한다

\[j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}\] 여기서 \(g_2,g_3\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조


singular moduli

  • quadratic imaginary number 에서의 값
  • 예 :

\[j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3\]

\[ x^2+x+6,2 x^2-x+3,2 x^2+x+3 \] 의 상반평면에서의 해를 구하여, 다음의 값을 생각하자 \[ j\left(\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(1+i \sqrt{23}\right)\right),j\left(\frac{1}{4} \left(-1+i \sqrt{23}\right)\right)\]

  • 이들은 대수적 정수이며, 다음 다항식의 해가 된다

\[ x^3+3491750 x^2-5151296875 x+12771880859375 \]


슈나이더의 정리

  • 복소상반평면의 대수적 수 \(\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}\)에 대하여, \(\tau\)가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, \(j(\tau)\)는 초월수이다.



푸리에 계수

  • \(j(\tau)=\sum_{n=-1}^{\infty}c(n) q^n=q^{-1}+744+196884q+\cdots\)로 두면, \(c(n)\)은 다음과 같이 주어진다
  • 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
  • 근사식 [Rademacher1938]

\[c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})\] 여기서 \(I_ 1\) 은 베셀 함수, \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }\] 이 때, \(hh'\equiv -1 \mod k\). \(A_k(n)\)은 클루스터만 합의 특수한 경우

  • 점근 급수

\[ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right) \]


무한곱

\[ j(p)-j(q)= \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c(nm)} \]


모듈라 다항식

  • j-불변량과 모듈라 다항식
  • \(\Phi_n\bigl(j(n\tau),j(\tau)\bigr)=0\)를 만족하는 기약다항식 \(\Phi_n(x,y)\in{\mathbb{ Z}}[x,y]\)이 존재하며, 이 때 차수는 \(x,y\) 각각에 대하여 \(\psi(n)=n\prod_{p|n}(1+1/p)\)로 주어진다


역사

  • 1877 데데킨트
  • 1878 클라인


메모

  • Hilbert class fields of imaginary quadratic fields are generated by singular moduli


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 자료



관련도서


리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문


[[분류:정수론]

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'monster'}, {'LOWER': 'lie'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
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