"연분수"의 두 판 사이의 차이
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2020년 12월 28일 (월) 02:44 기준 최신판
개요
- 다음과 같은 형태로 주어지는 수를 연분수라 한다
\[a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\frac{b_4}{a_4+\frac{b_5}{a_5+\frac{b_6}{a_6+\frac{b_7}{a_7+\frac{b_8}{a_8+\frac{b_9}{a_9+\frac{b_{10}}{a_{10}}}}}}}}}}}\]
- 다음과 같은 경우를 단순연분수라 한다
\[ c=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+\cdots}}}}} \]
- 이를 \(c=[a_0;a_1,a_2,\cdots]\)로 표현한다
- convergents \(c_n=[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)를 정의
- \(c_n\)의 분자 \(p_n\)와 분모 \(q_n\)로 이루어진 수열에 대하여 다음이 성립한다
- \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n+1} \)
- \(p_{n+1}=a_{n+1}p_n+p_{n-1}\)
- \(q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}\)
- \(p_n\)과 \(q_n\)에 대해서는 Continuant 항목을 참조
예
루트 2
- 루트 2의 연분수 전개는 \([1;2,2,2,\cdots]\), 즉 다음과 같이 주어진다
\[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]
- convergents \(\{c_n\}_{n\geq 0}\)는 다음과 같이 주어진다
\[ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{5} & \frac{17}{12} & \frac{41}{29} & \frac{99}{70} & \frac{239}{169} & \frac{577}{408} & \frac{1393}{985} & \frac{3363}{2378} \\ \end{array} \]
- \(c_n\)의 분자 \(p_n\)와 분모 \(q_n\)로 이루어진 수열을 생각하자
\[ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline p_n & 1 & 3 & 7 & 17 & 41 & 99 & 239 & 577 & 1393 & 3363 \\ q_n & 1 & 2 & 5 & 12 & 29 & 70 & 169 & 408 & 985 & 2378 \\ \end{array} \]
- 다음이 성립한다
- \(p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n-1}\)
- \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n-1} \)
- \(p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=3\)
- \(q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=2\)
- 2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)
황금비
- 황금비의 연분수 전개는 \([1;1,1,1,\cdots]\), 즉 다음과 같이 주어진다
\[\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\]
- convergents \(\{c_n\}_{n\geq 0}\)는 다음과 같이 주어진다
\[ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & 2 & \frac{3}{2} & \frac{5}{3} & \frac{8}{5} & \frac{13}{8} & \frac{21}{13} & \frac{34}{21} & \frac{55}{34} & \frac{89}{55} \\ \end{array} \]
- \(c_n\)의 분자 \(p_n\)와 분모 \(q_n\)로 이루어진 수열을 생각하자
\[ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline p_n & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 \\ q_n & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 \\ \end{array} \]
- 다음이 성립한다
- \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n-1} \)
- \(p_{n+1}=p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=2\)
- \(q_{n+1}=q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=1\)
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
- 연분수와 유리수 근사
- 가우스의 연분수
- 로저스-라마누잔 연분수
- 타자의 타율과 연분수
- 원주율과 연분수 Brouncker 의 공식
- 킨친 상수
- 2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)
- 자렘바의 추측
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Bengoechea, Paloma. ‘On a Theorem of Serret on Continued Fractions’. arXiv:1301.5944 [math], 24 January 2013. http://arxiv.org/abs/1301.5944.