"갈루아 이론"의 두 판 사이의 차이

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==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 
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* [[갈루아 이론]]
 
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==개요==
 
==개요==
  
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* [[군론(group theory)|군론]]을 통한 [[체론(field theory)]]의 이해
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* [[군론(group theory)|군론]]을 통한 [[체론(field theory)]]의 이해
 
* 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
 
* 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
 
* 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
 
* 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
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* 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음
 
* 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음
  
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==근의 공식[[2차 방정식의 근의 공식|2차 방정식의 근의 공식]]==
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==근의 공식==
  
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br>
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]
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* <math>ax^2+bx+c=0</math><br><math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math><br>
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* <math>ax^2+bx+c=0</math>:<math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
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* <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math><br>
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* <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]
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* <math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0</math><br>
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* <math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0</math>
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* <math>a,b,c,d,e,f</math><br>
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* <math>a,b,c,d,e,f</math>
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* <math>\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots</math><br>
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* <math>\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots</math>
  
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==풀수 있는 방정식==
 
==풀수 있는 방정식==
  
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* [[정오각형]] 항목 중 [[3002548#toc 4|꼭지점의 평면좌표]]에는 어떻게 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>을 풀 수 있는지가 설명되어 있음<br>
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* [[정오각형]] 항목에는 어떻게 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
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* [[가우스와 정17각형의 작도]] 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.<br>
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* [[가우스와 정17각형의 작도]] 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
 
** 이를 위하여 <math>z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0</math>의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
 
** 이를 위하여 <math>z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0</math>의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
 
** 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.
 
** 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.
  
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==근의 치환==
 
==근의 치환==
  
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*  일반적으로 [[대칭군 (symmetric group)]]의 부분군을 치환군이라 부른다<br>
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*  일반적으로 [[대칭군 (symmetric group)]]의 부분군을 치환군이라 부른다
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* [[방정식과 대칭성 : 치환군]]<br>
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* [[방정식과 대칭성 : 치환군]]
  
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==다항식과 갈루아체확장==
 
==다항식과 갈루아체확장==
  
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*  (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음<br>
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*  (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
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*  유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에서 정의된 다항식 <math>x^3-2=0</math><br>
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*  유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에서 정의된 다항식 <math>x^3-2=0</math>
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*  해는 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 세 개가 존재<br>
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*  해는 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 세 개가 존재
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*  유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math>를 집어넣으면 유리수체의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math> 를 얻음<br>
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*  유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math>를 집어넣으면 유리수체의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math> 를 얻음
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*  이 때, 체 <math>K</math>는 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 <math>[K : \mathbb{Q}]=6</math>이 됨<br>
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*  이 때, 체 <math>K</math>는 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 <math>[K : \mathbb{Q}]=6</math>이 됨
  
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==체확장과 갈루아군==
 
==체확장과 갈루아군==
  
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*  체 <math>F</math>와 그 체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>을 정의할 수 있음<br>
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*  체 <math>F</math>와 그 체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>을 정의할 수 있음
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** <math>\text{Gal}(K/F)</math>는 체<math>K</math>의 자기동형사상 중에서 체<math>F</math>를 변화시키지 않는 원소들의 모임<br>
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** <math>\text{Gal}(K/F)</math>는 체<math>K</math>의 자기동형사상 중에서 체<math>F</math>를 변화시키지 않는 원소들의 모임
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**  자기동형사상이란 <math>K</math>에서 <math>K</math>에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수<br>
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**  자기동형사상이란 <math>K</math>에서 <math>K</math>에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
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*  예) 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 는 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 체확장<br>
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*  예) 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 는 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 체확장
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**  방정식 <math>x^2+1=0</math> 의 해<math>\{i,-i\}</math>를 실수체 <math>\mathbb{R}</math>에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 를 만듦<br>
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**  방정식 <math>x^2+1=0</math> 의 해<math>\{i,-i\}</math>를 실수체 <math>\mathbb{R}</math>에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 를 만듦
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** <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}</math> 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 <math>z</math>에 대하여 <math>\operatorname{id}(z)=z</math>과 <math>\sigma(z)=\bar{z}</math>로 정의됨<br>
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** <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math> 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 <math>z</math>에 대하여 <math>\operatorname{id}(z)=z</math>과 <math>\sigma(z)=\bar{z}</math>로 정의됨
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** <math>\sigma(z)=\bar{z}</math> 이므로 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다<br>
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** <math>\sigma(z)=\bar{z}</math> 이므로 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다
  
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==방정식의 해가 가진 대칭성==
 
==방정식의 해가 가진 대칭성==
  
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* <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}</math>의 경우 <math>\sigma</math>는  복소수체의 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 변화시키지 않음.<br>
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* <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math>의 경우 <math>\sigma</math>는  복소수체의 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 변화시키지 않음.
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** <math>\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i</math>에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음<br>
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** <math>\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i</math>에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
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*  이것을 일반화할 수 있음<br>
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*  이것을 일반화할 수 있음
  
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;정리
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주어진 체 <math>F</math>의 원소를 계수로 갖는 기약다항식 <math>f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0</math>의 모든 해 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math>를 모두 추가하여 만든 체확장 <math>K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)</math>을 생각하자. <math>f</math>의 해 <math>\alpha\in K</math>와 갈루아군 <math>\operatorname{Gal}(K/F)</math>의 원소 <math>\sigma</math>에 대하여 <math>\sigma(\alpha)</math>도 <math>f</math>의 해가 된다.
  
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* 증명은 [[방정식과 대칭성 : 치환군]]  항목을 참조
  
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(정리)
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주어진 체 <math>F</math>에 대하여, <math>F</math>의 원소들로 계수가 구성된 기약인 방정식 <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>의 해이면,  위에서처럼 해<math>\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n</math>를 모두추가하여 만든 체확장 <math>K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)</math>의 갈루아군 <math>\text{Gal}(K/F)</math> 의 원소 <math>\sigma</math>에 대하여 <math>\sigma(\alpha)</math> 도 같은 방정식의 해가 된다.
 
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* 증명은 [[방정식과 대칭성 : 치환군|방정식과 대칭성]]  항목을 참조
 
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==예==
 
==예==
  
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*  위에서 본 유리수체<math>\mathbb{Q}</math>의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math><br>
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*  위에서 본 유리수체<math>\mathbb{Q}</math>의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math>
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*  위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 <math>\sqrt[3]{2}</math>와 <math>\omega</math>를 어디로 보내는가에 따라 결정<br>
+
*  위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 <math>\sqrt[3]{2}</math>와 <math>\omega</math>를 어디로 보내는가에 따라 결정
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* <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 는 유리계수방정식 <math>x^3-2=0</math>의 해이고, <math>\omega</math>와 <math>\omega^2</math>는  유리계수방정식 <math>x^2+x+1=0</math>의 해이기 때문<br>
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* <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 는 유리계수방정식 <math>x^3-2=0</math>의 해이고, <math>\omega</math>와 <math>\omega^2</math>는  유리계수방정식 <math>x^2+x+1=0</math>의 해이기 때문
−
 
+
:<math>
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{| class="dataTable2" style=""
+
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
−
|-
+
  &  \operatorname{id} & \tau & \tau^2 & \sigma & \sigma\tau & \sigma\tau^2 \\
−
|  
+
\hline
−
| <math>\operatorname{id}</math>
+
\sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} \\
−
| <math>\tau</math>
+
\hline
−
| <math>\tau^2</math>
+
\omega & \omega & \omega & \omega & \omega^2 & \omega^2 & \omega^2 \\
−
| <math>\sigma</math>
+
\end{array}
−
| <math>\sigma\tau</math>
+
</math>
−
| <math>\sigma\tau^2</math>
+
* <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 가 같이 움직이고,<math>\omega</math>와 <math>\omega^2</math>가 같이 움직임을 볼 수 있음
−
|-
+
* <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math>이 됨
−
| <math>\sqrt[3]{2}</math>
+
*  한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재
−
| <math>\sqrt[3]{2}</math>
+
**  크기가 6인 [[순환군]]
−
| <math>\omega\sqrt[3]{2}</math>
+
**  3개 원소로 이루어진 집합의 [[대칭군 (symmetric group)]]은 <math>3!=6</math> 개의 원소를 가짐
−
| <math>\omega^2\sqrt[3]{2}</math>
+
* <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다
−
| <math>\sqrt[3]{2}</math>
+
** 표를 이용하면 <math>\sigma\tau^2=\tau\sigma</math> 임을 알 수 있음
−
| <math>\omega^2\sqrt[3]{2}</math>
+
** <math>\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}</math>이고, <math>\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2</math> 이므로  <math>\sigma\tau^2=\tau\sigma</math>
−
| <math>\omega\sqrt[3]{2}</math>
+
**  따라서 <math>\sigma\tau\neq\tau\sigma</math> 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
−
|-
+
**  그러므로 <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3</math>
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| <math>\omega</math>
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*  요약
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| <math>\omega</math>
 
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| <math>\omega</math>
 
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| <math>\omega</math>
 
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| <math>\omega^2</math>
 
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| <math>\omega^2</math>
 
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| <math>\omega^2</math>
 
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|}
 
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* <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 가 같이 움직이고,<math>\omega</math>와 <math>\omega^2</math>가 같이 움직임을 볼 수 있음<br>
 
−
* <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math>이 됨<br>
 
−
*  한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재<br>
 
−
**  크기가 6인 [[순환군]]<br>
 
−
**  3개 원소로 이루어진 집합의 [[대칭군 (symmetric group)]]은 <math>3!=6</math> 개의 원소를 가짐<br>
 
−
* <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다<br>
 
−
** 표를 이용하면 <math>\sigma\tau^2=\tau\sigma</math> 임을 알 수 있음<br>
 
−
** <math>\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}</math>이고, <math>\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2</math> 이므로  <math>\sigma\tau^2=\tau\sigma</math><br>
 
−
**  따라서 <math>\sigma\tau\neq\tau\sigma</math> 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음<br>
 
−
**  그러므로 <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3</math><br>
 
−
*  요약<br>
 
 
** 방정식 <math>x^3-2=0</math> 으로부터 체확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math>을 얻었고, <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 를 얻었음
 
** 방정식 <math>x^3-2=0</math> 으로부터 체확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math>을 얻었고, <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 를 얻었음
−
** <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 의 원소들이 <math>\sqrt[3]{2}</math>와 <math>\omega</math> 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.
+
** <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 의 원소들이 <math>\sqrt[3]{2}</math>와 <math>\omega</math> 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.
  
−
 
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−
 
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==갈루아 체확장==
 
==갈루아 체확장==
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* transitivity와 fixed point free action 또는 <math>\text{Gal}(K/F)=|K:F|</math>
 
* transitivity와 fixed point free action 또는 <math>\text{Gal}(K/F)=|K:F|</math>
 
* 유한체
 
* 유한체
−
* [[원분체 (cyclotomic field)]] 와 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]
+
* [[원분체 (cyclotomic field)]] 와 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]
  
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−
 
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==5차방정식에의 응용==
 
==5차방정식에의 응용==
−
 
+
* 다항식 <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math>은 유리수체 위에서 5차의 기약다항식이다
−
<math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math> is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.
+
* 두 개의 허근과 세 개의 실근이 존재
−
 
+
* 이는 갈루아 군이 <math>S_5</math>임을 의미
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It has two complex and 3 real roots.
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This implies the Galois group is <math>S_5</math>.
 
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==역사==
 
==역사==
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
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==메모==
 
==메모==
  
 
* http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html
 
* http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html
−
 
+
* Girstmair, Kurt. “Moebius Transforms and Cyclic Equations.” arXiv:1505.05976 [math], May 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1505.05976.
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
  
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* [[군론(group theory)|군론]]<br>
+
* [[군론(group theory)|군론]]
−
* [[체론(field theory)]]<br>
+
* [[체론(field theory)]]
−
* [[대수적수론]]<br>
+
* [[대수적수론]]
−
* [[작도문제와 구적가능성]]<br>
+
* [[작도문제와 구적가능성]]
−
** [[가우스와 정17각형의 작도]]<br>
+
** [[가우스와 정17각형의 작도]]
−
** [[그리스 3대 작도 불가능문제]]<br>
+
** [[그리스 3대 작도 불가능문제]]
−
*** [[두배의 부피를 갖는 정육면체(The duplication of the cube)]]<br>
+
*** [[두배의 부피를 갖는 정육면체(The duplication of the cube)]]
−
** [[정다각형의 작도]]<br>
+
** [[정다각형의 작도]]
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** [[히포크라테스의 초승달]]<br>
+
** [[히포크라테스의 초승달]]
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==수학용어번역==
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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==사전 형태의 자료==
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
−
 
 
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==사전 형태의 자료==
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/galois_theory
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/galois_theory
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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==관련논문==
 
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* [http://www.mathpages.com/HOME/kmath485.htm Determining the Galois Group of a Polynomial]
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2325119 Galois Theory for Beginners]<br>
 
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** John Stillwell, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2690312 The Evolution of Group Theory: A Brief Survey]<br>
 
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** Israel Kleiner, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
 
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* [http://www.jstor.org/stable/301590 Galois and Group Theory]<br>
 
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** Garrett Birkhoff,  Osiris, Vol. 3, (1937), pp. 260-268
 
  
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=galois
 
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* http://dx.doi.org/
 
  
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==교양도서==
 
==교양도서==
  
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* [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140820&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 1], [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140824&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 2]<br>
+
* 톰 펫시니스 저/김연수 역, [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140820&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 1], [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140824&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 2] | 이끌리오
−
** 톰 펫시니스 저/김연수 역 | 이끌리오
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* Mario Livio, [http://books.google.com/books?id=veQ9a3nixDUC The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry]
−
* [http://books.google.com/books?id=veQ9a3nixDUC The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry]<br>
 
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** Mario Livio
 
  
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==관련도서==
 
==관련도서==
  
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* [http://books.google.com/books?id=NeKmqSRE0V0C Classical Galois theory: with examples]<br>
+
* Lisl Gaal 1998 [http://books.google.com/books?id=NeKmqSRE0V0C Classical Galois theory: with examples]
−
** Lisl Gaal 1998 
+
* Harold M. Edwards (1984), [http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC Galois Theory], Springer-Verlag
−
* [http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC Galois Theory]<br>
 
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** Harold M. Edwards (1984),  Springer-Verlag
 
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* [http://www.mathpages.com/HOME/kmath485.htm Determining the Galois Group of a Polynomial]
 +
* [http://www.jstor.org/stable/2325119 Galois Theory for Beginners]
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** John Stillwell, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
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* [http://www.jstor.org/stable/2690312 The Evolution of Group Theory: A Brief Survey]
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** Israel Kleiner, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
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* [http://www.jstor.org/stable/301590 Galois and Group Theory]
 +
** Garrett Birkhoff,  Osiris, Vol. 3, (1937), pp. 260-268
  
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==관련논문==
 +
* Jonathan D. Hauenstein, Jose Israel Rodriguez, Frank Sottile, Numerical computation of Galois groups, arXiv:1605.07806 [math.AG], May 25 2016, http://arxiv.org/abs/1605.07806
 +
* Patsolic, Jesse, and Jeremy Rouse. “Trinomials Defining Quintic Number Fields.” arXiv:1512.09343 [math], December 31, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.09343.
 +
* Ranjbar, Fariba, and Saeed Ranjbar. “Inverse Galois Problem and Significant Methods.” arXiv:1512.08708 [math], December 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.08708.
 +
* http://arxiv.org/abs/1512.08708
 +
* König, Joachim. “Computation of Hurwitz Spaces and New Explicit Polynomials for Almost Simple Galois Groups.” arXiv:1512.05533 [math], December 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.05533.
 +
* Rivin, Igor. “Galois Groups of Generic Polynomials.” arXiv:1511.06446 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06446.
 +
* Rogelstad, Michael L. “Combinatorial Techniques in the Galois Theory of <math>p</math>-Extensions.” arXiv:1508.02274 [math], August 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02274.
 +
* Huang, Hau-Wen, and Wen-Ching Winnie Li. “A Unified Approach to the Galois Closure Problem.” arXiv:1507.04433 [math], July 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.04433.
 +
* Zywina, David. “The Inverse Galois Problem for Orthogonal Groups.” arXiv:1409.1151 [math], September 3, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.1151.
  
  
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[[분류:방정식과 근의 공식]]
−
 
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[[분류:교과목]]
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==블로그==
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[[분류:추상대수학]]
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*  구글 블로그 검색<br>
 
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** [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EA%B0%88%EB%A3%A8%EC%95%84%EC%9D%B4%EB%A1%A0 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=갈루아이론]
 
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
 
  
−
[[분류:방정식과 근의 공식]]
+
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q92552 Q92552]
 +
===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'galois'}, {'LEMMA': 'theory'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:57 기준 최신판

개요

  • 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
  • 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
  • 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
  • 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
  • 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음



근의 공식



풀수 있는 방정식

  • 정오각형 항목에는 어떻게 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
  • 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
    • 이를 위하여 \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
    • 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.



근의 치환



다항식과 갈루아체확장

  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
  • 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
  • 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨



체확장과 갈루아군

  • 체 \(F\)와 그 체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)을 정의할 수 있음
    • \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
    • 자기동형사상이란 \(K\)에서 \(K\)에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
  • 예) 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장
    • 방정식 \(x^2+1=0\) 의 해\(\{i,-i\}\)를 실수체 \(\mathbb{R}\)에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \(\mathbb{C}\) 를 만듦
    • \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\) 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 \(z\)에 대하여 \(\operatorname{id}(z)=z\)과 \(\sigma(z)=\bar{z}\)로 정의됨
    • \(\sigma(z)=\bar{z}\) 이므로 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다




방정식의 해가 가진 대칭성

  • \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\)의 경우 \(\sigma\)는 복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
    • \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
  • 이것을 일반화할 수 있음


정리

주어진 체 \(F\)의 원소를 계수로 갖는 기약다항식 \(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0\)의 모든 해 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)를 모두 추가하여 만든 체확장 \(K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)을 생각하자. \(f\)의 해 \(\alpha\in K\)와 갈루아군 \(\operatorname{Gal}(K/F)\)의 원소 \(\sigma\)에 대하여 \(\sigma(\alpha)\)도 \(f\)의 해가 된다.



예

  • 위에서 본 유리수체\(\mathbb{Q}\)의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)
  • 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\)를 어디로 보내는가에 따라 결정
  • \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 는 유리계수방정식 \(x^3-2=0\)의 해이고, \(\omega\)와 \(\omega^2\)는 유리계수방정식 \(x^2+x+1=0\)의 해이기 때문

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & \operatorname{id} & \tau & \tau^2 & \sigma & \sigma\tau & \sigma\tau^2 \\ \hline \sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} \\ \hline \omega & \omega & \omega & \omega & \omega^2 & \omega^2 & \omega^2 \\ \end{array} \]

  • \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 가 같이 움직이고,\(\omega\)와 \(\omega^2\)가 같이 움직임을 볼 수 있음
  • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\)이 됨
  • 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재
  • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다
    • 표를 이용하면 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\) 임을 알 수 있음
    • \(\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}\)이고, \(\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2\) 이므로 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\)
    • 따라서 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\) 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
    • 그러므로 \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3\)
  • 요약
    • 방정식 \(x^3-2=0\) 으로부터 체확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)을 얻었고, \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 를 얻었음
    • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 의 원소들이 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\) 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.



갈루아 체확장



5차방정식에의 응용

  • 다항식 \(f(x)=2x^5-5x^4+5\)은 유리수체 위에서 5차의 기약다항식이다
  • 두 개의 허근과 세 개의 실근이 존재
  • 이는 갈루아 군이 \(S_5\)임을 의미


역사



메모

관련된 항목들



사전 형태의 자료


교양도서


관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'galois'}, {'LEMMA': 'theory'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=갈루아_이론&oldid=52182"