"디리클레 L-함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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* [[디리클레 L-함수]]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
 
  
 
* 리만제타함수의 일반화
 
* 리만제타함수의 일반화
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*  준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br>
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*  primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) [[디리클레 캐릭터]]<math>\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.:<math>L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math>
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* [[리만제타함수]], [[디리클레 베타함수]] 가 간단한 예<br>
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*  위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]]과 [[유한군의 표현론]] 항목을 참조
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*  함수방정식 ([[디리클레 베타함수]]의 경우)<br><math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math><br><math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math><br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">s=1에서의 값</h5>
 
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<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{a=1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})</math>
 
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<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}</math>
 
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<math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math>
 
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[[가우스 합|가우스합]] 항목 참조
 
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<math>L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}</math>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이차잉여에의 응용</h5>
 
  
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7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 와  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
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==예==
  
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<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 라 두면, <math>d_K=-p</math>이며  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 는  <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시킨다. 
+
* [[리만제타함수]]는 <math>q=1</math>,  <math>\chi=1</math> 인 경우에 해당
 +
* [[디리클레 베타함수]]  <math>q=4</math>, <math>\chi(1)=1</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우
 +
*  이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식
 +
* <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>
 +
* 다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 <math>K</math>를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 [[데데킨트 제타함수]] 항목을 참조:<math>L_{d_K}(s):=L(s, \chi)</math>
  
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 <math>\chi(-1)=-1</math> 이므로 <math>\chi</math> 는 odd
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[[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]에 있는 결과로부터
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==해석적 확장==
  
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<math>L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}</math>
+
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]를 통한 방법이 있음
 +
* [[리만제타함수]]의 해석적확장과 같이 멜린변환을 이용할 수 있음
 +
* [[감마함수]]의 성질
 +
:<math>\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}</math>
 +
을 이용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다
 +
:<math>\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}</math>
 +
* <math>g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(q-1)y^{q-1}</math> 으로 두면,
 +
:<math>\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^q}, \quad 0<y<1</math>
 +
* <math>g(y)</math>는 <math>y</math>와 <math>1-y</math>를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 <math>h(y)</math>에 대하여 <math>g(y)=y(1-y)h(y)</math>로 표현가능:<math>\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{q-1}})=yk(y)</math>
 +
여기서 <math>k(y)</math>는 <math>C^{\infty}([0,1])</math>이고 유계가 됨
 +
*  디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴:<math>L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}</math>
 +
* 위의 식에서 <math>l(t)</math>와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, [[감마함수]]의 해석적확장에서와 마찬가지로, <math>\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}</math>는 <math>s=0,-1,-2,\cdots</math>에서 단순 pole을 갖게 된다.
 +
* 따라서 <math>L(s, \chi)</math>는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨
  
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를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터
+
  
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<math>L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}</math>
+
  
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[[가우스 합|가우스합]] 으로부터 <math>\tau (\chi)=i\sqrt p</math>
+
==함수방정식==
  
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이제 위의 두 값을 비교하면, <math>h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}</math>
+
*  L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의:<math>\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)</math>
 +
*  다음 함수방정식을 만족시킴:<math>\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)</math>
 +
*  위에서 사용된 기호에 대한 설명:<math>a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}</math>
 +
** <math>\chi(-1)=-1</math> 이면  <math>a_{\chi}=1</math>
 +
** <math>\chi(-1)=1</math> 이면 <math>a_{\chi}=0</math>
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** <math>\Gamma(s)</math>는 [[감마함수]]
 +
** <math>\tau(\chi)=\sum_{(j,q)=1}\chi(j)e^{2\pi i j/q}</math>는 [[가우스 합|가우스합]]
  
−
이로부터 소수 <math>p</math>에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
+
===예1===
 +
* [[디리클레 베타함수]]의 경우
 +
** <math>q=4</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math>, <math>a_{\chi}=1</math> 인 경우에 해당
 +
** <math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math>
 +
**  가우스합은 <math>\tau(\chi)=2i</math>이므로 함수방정식은 다음과 같음:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>
  
−
 
+
===예2===
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* <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math>
 +
** <math>q=3</math>, <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math>, <math>a_{\chi}=1</math> 인 경우에 해당
 +
** <math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)</math>
 +
**  가우스합은 <math>\tau(\chi)=\sqrt{3}i</math> 이므로 함수방정식은 다음과 같음:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">L'(1)의 값과 정적분</h5>
+
==<math>L(1,\chi)의 값</math>==
 +
* <math>s=1</math> 에서의 값이 중요한 이유
 +
** <math>\chi\neq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\neq 0 </math> 임을 보여 [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]를 증명하였다
 +
**  이차수체 <math>K</math>의 경우 <math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음
 +
* [[디리클레 L-함수의 special values]] 항목 참조
  
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<math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math>
 
  
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<math>L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}</math>
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==<math>L'(1,\chi)</math> 의 값==
  
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<math>L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}</math>
+
* 복소이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식이라 하면, [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]]에 의하여 다음이 성립한다
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:<math>L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math>
 +
* [[디리클레 L-함수의 미분]] 항목 참조
 +
:<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math>
 +
* 예
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:<math>L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})</math>
  
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<math>=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx</math>
 
  
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==역사==
  
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이제 <math>L'(1)</math> 의 값을 구하면 된다. 
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* [[수학사 연표]]
  
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<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> 와 [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] 의 에르미트 표현 <math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>  을 사용하면,
 
  
−
<math>L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>
 
  
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<math>L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}</math>
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==메모==
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* 일반화된 리만 가설
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* 지겔 영점 http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel_zero
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* L(1/2) 의 값은?
  
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<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)</math>
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가 만족시키는 함수방정식
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<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>
 
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을 사용하자.
 
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<math>L(0)=\frac{1}{2}</math> 을 쉽게 얻을 수 있다.
 
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한편 [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]] 의 값 <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math> 를 활용하여,
 
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<math>L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>
 
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를 얻는다. 
 
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따라서
 
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<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}</math>
 
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* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]] 항목 참조
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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<h5>역사</h5>
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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<h5>메모</h5>
 
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<h5>관련된 항목들</h5>
 
  
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==관련된 항목들==
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* [[디리클레 L-함수의 미분]]
 
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]
 
* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]]
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* [[가우스 합]]
  
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==사전 형태의 자료==
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
 
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_L-function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_L-function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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<h5>관련논문</h5>
 
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://dx.doi.org/
 
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
 
  
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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==관련도서==
  
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<h5>관련기사</h5>
+
* Harold Davenport, [http://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC Multiplicative Number Theory] (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)
  
−
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
−
 
+
==관련논문==
 +
* Khan, Rizwanur, and Hieu T. Ngo. “Nonvanishing of Dirichlet L-Functions.” arXiv:1512.04030 [math], December 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04030.
 +
* Omar, Sami, Raouf Ouni, and Kamel Mazhouda. “On the Zeros of Dirichlet <math>L</math>-Functions.” arXiv:1507.03431 [math], July 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03431.
 +
* Veklych, Bogdan. ‘A One-Formula Proof of the Nonvanishing of L-Functions of Real Characters at 1’. arXiv:1412.5162 [math], 15 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.5162.
 +
* Mathar, Richard J. “Table of Dirichlet L-Series and Prime Zeta Modulo Functions for Small Moduli.” arXiv:1008.2547 [math], August 15, 2010. http://arxiv.org/abs/1008.2547.
  
−
 
 
  
−
<h5>블로그</h5>
+
[[분류:정수론]]
 +
[[분류:특수함수]]
  
−
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
==메타데이터==
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+
===위키데이터===
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1773226 Q1773226]
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
+
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'siegel'}, {'LEMMA': 'zero'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:03 기준 최신판

개요

  • 리만제타함수의 일반화
  • primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 디리클레 캐릭터\(\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\]
  • 위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 순환군의 표현론과 유한군의 표현론 항목을 참조


예

  • 리만제타함수는 \(q=1\), \(\chi=1\) 인 경우에 해당
  • 디리클레 베타함수 \(q=4\), \(\chi(1)=1\), \(\chi(-1)=-1\) 인 경우
  • 이차수체 \(K\), \(d_K\)는 판별식
  • \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)
  • 다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 \(K\)를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 데데킨트 제타함수 항목을 참조\[L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\]



해석적 확장

\[\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}\] 을 이용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다 \[\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}\]

  • \(g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(q-1)y^{q-1}\) 으로 두면,

\[\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^q}, \quad 0<y<1\]

  • \(g(y)\)는 \(y\)와 \(1-y\)를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 \(h(y)\)에 대하여 \(g(y)=y(1-y)h(y)\)로 표현가능\[\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{q-1}})=yk(y)\]

여기서 \(k(y)\)는 \(C^{\infty}([0,1])\)이고 유계가 됨

  • 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴\[L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}\]
  • 위의 식에서 \(l(t)\)와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, 감마함수의 해석적확장에서와 마찬가지로, \(\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}\)는 \(s=0,-1,-2,\cdots\)에서 단순 pole을 갖게 된다.
  • 따라서 \(L(s, \chi)\)는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨



함수방정식

  • L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의\[\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)\]
  • 다음 함수방정식을 만족시킴\[\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)\]
  • 위에서 사용된 기호에 대한 설명\[a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}\]
    • \(\chi(-1)=-1\) 이면 \(a_{\chi}=1\)
    • \(\chi(-1)=1\) 이면 \(a_{\chi}=0\)
    • \(\Gamma(s)\)는 감마함수
    • \(\tau(\chi)=\sum_{(j,q)=1}\chi(j)e^{2\pi i j/q}\)는 가우스합

예1

  • 디리클레 베타함수의 경우
    • \(q=4\), \(\chi(-1)=-1\), \(a_{\chi}=1\) 인 경우에 해당
    • \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\)
    • 가우스합은 \(\tau(\chi)=2i\)이므로 함수방정식은 다음과 같음\[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]

예2

  • \(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
    • \(q=3\), \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\), \(\chi(-1)=-1\), \(a_{\chi}=1\) 인 경우에 해당
    • \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)\)
    • 가우스합은 \(\tau(\chi)=\sqrt{3}i\) 이므로 함수방정식은 다음과 같음\[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]


\(L(1,\chi)의 값\)


\(L'(1,\chi)\) 의 값

\[L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\]

\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]

  • 예

\[L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\]


역사


메모




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사전 형태의 자료



관련도서


관련논문

  • Khan, Rizwanur, and Hieu T. Ngo. “Nonvanishing of Dirichlet L-Functions.” arXiv:1512.04030 [math], December 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04030.
  • Omar, Sami, Raouf Ouni, and Kamel Mazhouda. “On the Zeros of Dirichlet \(L\)-Functions.” arXiv:1507.03431 [math], July 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03431.
  • Veklych, Bogdan. ‘A One-Formula Proof of the Nonvanishing of L-Functions of Real Characters at 1’. arXiv:1412.5162 [math], 15 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.5162.
  • Mathar, Richard J. “Table of Dirichlet L-Series and Prime Zeta Modulo Functions for Small Moduli.” arXiv:1008.2547 [math], August 15, 2010. http://arxiv.org/abs/1008.2547.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'siegel'}, {'LEMMA': 'zero'}]
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