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* 적분과 미분의 관계<br> | * 적분과 미분의 관계<br> | ||
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| − | + | ==미적분학의 기본정리== | |
<math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)</math> 이면 <math>\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)</math> | <math>F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)</math> 이면 <math>\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)</math> | ||
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| − | + | ==선적분의 기본정리== | |
* 1-form 과 0-form<br><math>\int_{C}\nabla\phi\cdot d\mathbf{r}=\phi(P_1)-\phi(P_0)</math><br> or<br><math>\int_{C}\frac{d\phi}{dx}dx+\frac{d\phi}{dy}dy=\phi(P_1)-\phi(P_0)</math><br> <br> 여기서 <math>C</math>는 <math>P_0</math>를 시작점, <math>P_1</math>을 끝점으로 갖는 곡선<br> | * 1-form 과 0-form<br><math>\int_{C}\nabla\phi\cdot d\mathbf{r}=\phi(P_1)-\phi(P_0)</math><br> or<br><math>\int_{C}\frac{d\phi}{dx}dx+\frac{d\phi}{dy}dy=\phi(P_1)-\phi(P_0)</math><br> <br> 여기서 <math>C</math>는 <math>P_0</math>를 시작점, <math>P_1</math>을 끝점으로 갖는 곡선<br> | ||
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| − | + | ==곡면에 대한 스토크스의 정리== | |
* 2-form 과 1-form<br><math>\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}</math><br> | * 2-form 과 1-form<br><math>\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}</math><br> | ||
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| − | + | ==그린 정리== | |
* 스토크스 정리의 특수한 경우<br><math>\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)</math><br> | * 스토크스 정리의 특수한 경우<br><math>\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)</math><br> | ||
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| − | + | ==가우스의 발산 정리== | |
* 3-form과 2-form<br><math>\iiint_V\ \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,{d}S </math><br> 여기서<br><math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z }</math><br> | * 3-form과 2-form<br><math>\iiint_V\ \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,{d}S </math><br> 여기서<br><math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z }</math><br> | ||
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| − | + | ==가장 일반적인 형태의 스토크스 정리== | |
* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)]] 에 대한 스토크스 정리<br><math>\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega</math><br> | * [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)]] 에 대한 스토크스 정리<br><math>\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega</math><br> | ||
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[http://math.mit.edu/%7Edspivak/files/stokes.pdf ] | [http://math.mit.edu/%7Edspivak/files/stokes.pdf ] | ||
| − | + | ==역사== | |
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br> | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br> | ||
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| − | + | ==상위 주제== | |
* [[25 미적분학|미적분학]]<br> | * [[25 미적분학|미적분학]]<br> | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[치환적분과 변수분리형 미분방정식]]<br> | * [[치환적분과 변수분리형 미분방정식]]<br> | ||
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| − | + | ==관련도서 및 추천도서== | |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
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| − | + | ==사전형태의 참고자료== | |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%ED%95%99%EC%9D%98_%EA%B8%B0%EB%B3%B8%EC%A0%95%EB%A6%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/미적분학의_기본정리] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%ED%95%99%EC%9D%98_%EA%B8%B0%EB%B3%B8%EC%A0%95%EB%A6%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/미적분학의_기본정리] | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:23 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 적분과 미분의 관계
- 미적분학의 기본정리는 다변수 미적분학에서 선적분의 기본정리, 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등으로 확장
- 미분형식에 대한 스토크스 정리로 확장됨
미적분학의 기본정리
\(F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x)\) 이면 \(\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)\)
선적분의 기본정리
- 1-form 과 0-form
\(\int_{C}\nabla\phi\cdot d\mathbf{r}=\phi(P_1)-\phi(P_0)\)
or
\(\int_{C}\frac{d\phi}{dx}dx+\frac{d\phi}{dy}dy=\phi(P_1)-\phi(P_0)\)
여기서 \(C\)는 \(P_0\)를 시작점, \(P_1\)을 끝점으로 갖는 곡선
곡면에 대한 스토크스의 정리
- 2-form 과 1-form
\(\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf{r}\)
그린 정리
- 스토크스 정리의 특수한 경우
\(\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)\) - 그린 정리
가우스의 발산 정리
- 3-form과 2-form
\(\iiint_V\ \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,{d}S \)
여기서
\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z }\) - 발산 정리(divergence theorem)
가장 일반적인 형태의 스토크스 정리
- 미분형식 (differential forms) 에 대한 스토크스 정리
\(\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\)
역사
메모
- https://www.cds.caltech.edu/help/uploads/wiki/files/177/Diff_Forms_pauses.pdf
- http://pages.uoregon.edu/gilkey/dirCourse/NotesGreenGaussStokes-v3c.pdf
상위 주제
하위페이지
관련된 항목들
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
수학용어번역
사전형태의 참고자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/미적분학의_기본정리
- http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Green's_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/stoke's_theorem
관련논문
- The History of Stokes' Theorem
- Victor J. Katz, Mathematics Magazine Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156