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− | + | * [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]] | |
+ | * [[오일러-맥클로린 공식]] | ||
− | < | + | <h5>관련된 대학원 과목</h5> |
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− | < | + | <h5>관련된 다른 주제들</h5> |
− | + | * [[오일러수]] | |
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− | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | |
− | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers | |
+ | * http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials | ||
+ | * http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function | ||
+ | * http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function | ||
− | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | |
+ | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
+ | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
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− | + | * [http://www.jstor.org/stable/2323860 Stirling's Series and Bernoulli Numbers]<br> | |
− | + | ** Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426 | |
− | < | + | * [http://www.jstor.org/stable/2323915 A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers]<br> |
+ | ** Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138 | ||
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− | * | + | * 도서내검색<br> |
+ | ** http://books.google.com/books?q= | ||
+ | ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query= | ||
+ | * 도서검색<br> | ||
+ | ** http://books.google.com/books?q= | ||
+ | ** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords= | ||
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− | + | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= | |
− | * http:// | + | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= |
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− | <h5> | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5> |
− | * | + | * 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= |
− | * | + | * [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] |
− | * [http://www. | + | * [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS] |
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2009년 12월 22일 (화) 08:35 판
간단한 소개
- 베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열[[2040024|]]
- 베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
\(\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\)
- 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)
{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}
베르누이 수의 성질
- \(B_m=\frac{N_m}{D_m}\) (여기서 \(N_m, D_m\)은 서로소) 으로 쓰면 \(D_m\)은 \(p-1|m\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어짐
- \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
- \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
- \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)
삼각함수의 급수 표현
- 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
- 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)
쌍곡함수의 급수표현
\(\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\)
\(\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- Stirling's Series and Bernoulli Numbers
- Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
- A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers
- Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)