"L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수"의 두 판 사이의 차이

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<math>L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math> 와 [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]] 의 에르미트 표현 <math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math>  을 사용하면,
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<math>L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>
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<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>
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<math>L(0)=\frac{1}{2}</math> 을 쉽게 얻을 수 있다.
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한편 [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]] 의 값 <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>에서 <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)</math> 를 활용하여,
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<math>L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})</math>
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따라서
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<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}</math>
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7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 와  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
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<math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 라 두면, <math>d_K=-p</math>이며  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 는  <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시킨다. 
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 <math>\chi(-1)=-1</math> 이므로 <math>\chi</math> 는 odd
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[[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]에 있는 결과로부터
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<math>L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}</math>
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를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터
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<math>L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}</math>
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[[가우스 합|가우스합]] 으로부터 <math>\tau (\chi)=i\sqrt p</math>
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이제 위의 두 값을 비교하면, <math>h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}</math>
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이로부터 소수 <math>p</math>에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
  
 
 
 
 
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* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]<br>
 
* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]<br>
 
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]<br>
 
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]<br>
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* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)|Hurwitz 제타함수]]<br>
 
* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]]<br>
 
* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]]<br>
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_series
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]

2009년 9월 10일 (목) 07:24 판

간단한 소개

 

 

 

 

디리클레 L-함수
  • 리만제타함수의 일반화
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
    \(L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\)
  • 함수방정식
    \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\)
    \(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)

 

 

 

s=1에서의 값

\(L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/N})\)

\(\tau_a(\chi)=\sum_{(j,N)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/N}\)

\(\tau(\chi)=\tau_1(\chi)\)

가우스합 항목 참조

 

\(L(1,\chi)= \begin{cases} \frac{\pi\tau(\chi)}{N^2}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a) a & \mbox{ if }\chi\text { :odd} \\ -\frac{\tau(\chi)}{N}\sum_{1}^{N-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{N}}) & \mbox{ if } \chi\text { :even}} \end{cases}\)

 

 

 

 

정적분

 

\(f\)가 \(f(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, \(p(z)=z-z^3\)

\(L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}\)

\(L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}\)

\(=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx\)

 

이제 \(L'(1)\) 의 값을 구하면 된다. 

\(L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\) 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)  을 사용하면,

\(L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\)

\(L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\)

 

\(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\)

가 만족시키는 함수방정식

\(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)

을 사용하자.

\(L(0)=\frac{1}{2}\) 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 Digamma 함수 의 값 \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\) 를 활용하여,

\(L'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\)

를 얻는다. 

 

따라서

\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln{\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\)

 

 

 

 

 

응용

7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 와  \(\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)\) 를 정의하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 라 두면, \(d_K=-p\)이며  \(\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)\) 는  \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시킨다. 

 

 \(\chi(-1)=-1\) 이므로 \(\chi\) 는 odd

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리에 있는 결과로부터

\(L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}\)

를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터

\(L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}\)

가우스합 으로부터 \(\tau (\chi)=i\sqrt p\)

이제 위의 두 값을 비교하면, \(h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}\)

이로부터 소수 \(p\)에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.

 

재미있는 사실

 

 

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