"정다각형의 대각선의 길이"의 두 판 사이의 차이

2013년 8월 13일 (화) 11:12 판

개요

한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이
편의상 $n=\ell+2$로 두자. 대각선의 길이 $r_i$는 다음과 같이 주어진다

\[r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi (i+1)}{\ell+2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{\ell+2}\right)},\quad i=0,1,\cdots,\ell\]

$r_0=1$, $r_{\ell}=1$ 임을 확인할 수 있다
톨레미의 정리
그림은 정칠각형 의 경우

대각선이 만족시키는 항등식 1

다음을 만족한다

\[r_h\times r_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\] 여기서 $0\leq k\leq h<n/2$이고, 우변은 k+1개항의 합.

다음과 같이 쓸 수 있다

$$ r_{h}\times r_{k}= r_{|h-k|}+ r_{|h-k|+2}+ \cdots + r_{\operatorname{min}(2\ell-(h+k),h+k)} $$ 여기서 $0\leq h,k \leq \ell$

고등수학의 등각장론에서 fusion rule 로 등장한다

증명

다음과 같은 삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식 을 이용하자. \[\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}\] 이를 이용하여, 다음을 얻을 수 있다 \[\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}\] 따라서 \[r_h\times r_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}\] ■

대각선이 만족시키는 항등식 2

$r_i$는 다음의 점화식을 만족한다

\[r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq \ell-1\]

항등식 1을 이용하여 증명할 수 있다
이는 제2종 체비셰프 다항식이 만족시키는 항등식 $U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)$과 같다

양자미적분학

q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 에서 실수 n 의 q-analogue 로\[[n]_q =\frac{q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}} \] 와 같은 표현을 사용하기도 함
$q=e^{i\theta}$ 로 두면,\[[n]_q =\frac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}} =\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}\] 를 얻는다
정다각형의 대각선의 길이\[r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi (i+1)}{n}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}\] 와 유사한 표현을 얻는다
이는 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하여 quantum dimension을 정의할 때 등장하는 표현이다

예

정사각형의 대각선

루트2는 무리수이다

정사각형의 대각선의 길이

한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 피타고라스의 정리를 이용하여 루트 2가 됨을 보일수 있다. "루트2는 무리수" 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다.

정오각형의 대각선

정오각형 에서 가져옴

정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

${b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}$

정오각형의 대각선의 길이

정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율이 황금비가 된다는 것은 잘 알려진 사실이다.

${b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}$

정오각형의 한 변의 길이가 1인 경우, 즉 $a=1$인 경우에 b는 황금비가 된다.

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC와 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해,

AB : AD = BE : DE 즉 $a : b = b-a : a$ 가 성립한다.

$b^2 - ab - a^2 = 0$

$(\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0$■

톨레미의 정리

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또 다른 방법의 하나는 평면기하의 톨레미의 정리를 이용하는 것이다. 톨레미의 정리는 다음과 같다 :

사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다.

즉, 아래그림에서 $\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}$ 이 성립한다.

정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또다른 방법 - 톨레미의 정리의 응용

톨레미의 정리를 아래의 그림에 적용해 보면,

사각형 ABCD가 원에 내접하고 있으므로, 두 대각선 AC와 BD의 길이의 곱으로부터 $\overline{AC}\cdot \overline{BD}=b^2$을 얻고, $\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}=a^2+ab$를 얻을 수 있다.

이로부터 $b^2 - ab - a^2 = 0$를 얻을 수도 있다.

정육각형의 대각선

정육각형의 대각선의 길이

각 변의 길이가 1인 정육각형의 대각선의 길이는 $\sqrt{3}$과 2가 되는데, 이는 정삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다면 어렵지 않게 구할 수 있다.

정칠각형의 대각선

정칠각형

정칠각형의 대각선의 길이

정칠 각형의 대각선의 길이도 마찬가지로 톨레미의 정리를 여러번 적용하면 구할 수 있다.

한변의 길이 $r_0=1$ 라 두고, 톨레미의 정리를 적용하면,

$r_1^2=1+r_2$

$r_2r_1=r_1+r_2$

$r_2^2=r_2r_1+1$

와 같은 관계를 얻을 수 있다.

이를 이용하면, 다음과 같은 사실들을 알 수 있다.

$r_1$은 $x^3-x^2-2x+1=0$ 의 해이고, $r_2$은 $x^3-2x^2-x+1=0$ 의 해이다.

(증명)

$r_2=r_1^2-1$ 이므로, $r_2r_1=r_1+r_2$로부터 $r_1(r_1^2-1)=r_1+r_1^2-1$.

$r_2^2=r_2r_1+1=r_1+r_2+1$ 이므로, $r_1=r_2^2-r_2-1$. 이제 $r_2r_1=r_1+r_2$로부터, $r_2(r_2^2-r_2-1)=r_2^2-r_2-1+r_2$. ■

"정다각형의 대각선의 길이"의 두 판 사이의 차이

2013년 8월 13일 (화) 11:12 판

목차

개요

대각선이 만족시키는 항등식 1

증명

대각선이 만족시키는 항등식 2

양자미적분학

예

정사각형의 대각선

정오각형의 대각선

정육각형의 대각선

정칠각형의 대각선

역사

메모

관련된 항목들

관련논문

매스매티카 파일 및 계산 리소스

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@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
+* 한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이
-*  한 변의 길이가 1인 정n각형의 대각선의 길이는 다음과 같이 주어짐:<math>r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi  (i+1)}{n}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}</math>, <math>i=0,1,\cdots,n-2</math><br> 여기서 <math>r_0=1</math>, <math>r_{n-2}=1</math><br>
+* 편의상 $n=\ell+2$로 두자. 대각선의 길이 $r_i$는 다음과 같이 주어진다
-* [[톨레미의 정리]]<br>
+:<math>r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi  (i+1)}{\ell+2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{\ell+2}\right)},\quad i=0,1,\cdots,\ell</math>
-*  그림은 [[정칠각형]] 의 경우<br>[[파일:6782509-heptagon.png]]<br>
+* <math>r_0=1</math>, <math>r_{\ell}=1</math> 임을 확인할 수 있다
+* [[톨레미의 정리]]
+* 그림은 [[정칠각형]] 의 경우
+[[파일:6782509-heptagon.png]]
 ==대각선이 만족시키는 항등식 1==
+* 다음을 만족한다
+:<math>r_h\times r_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}</math>
+여기서 <math>0\leq k\leq h<n/2</math>이고, 우변은 k+1개항의 합.
+* 다음과 같이 쓸 수 있다
+$$
+r_{h}\times r_{k}= r_{|h-k|}+ r_{|h-k|+2}+ \cdots + r_{\operatorname{min}(2\ell-(h+k),h+k)}
+$$
+여기서 $0\leq h,k \leq \ell$
+* 고등수학의 등각장론에서 fusion rule 로 등장한다
-* <math>r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}</math>, <math>0\leq k\leq h<n/2</math>.  우변은 k+1개항의 합.:<math>r_0r_0=r_0</math>:<math>r_1r_0=r_1</math>:<math>r_1r_1=r_0+r_2</math>:<math>r_2r_0=r_2</math>:<math>r_2r_1=r_1+r_3</math>:<math>r_2r_2=r_0+r_2+r_4</math>:<math>r_3r_0=r_3</math>:<math>r_3r_1=r_2+r_4</math>:<math>r_3r_2=r_1+r_3+r_5</math>:<math>r_3r_3=r_0+r_2+r_4+r_6</math><br>
-(증명)
-[[삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식]] 을 이용하자.
-<math>\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}</math>
+===증명===
-<math>\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}</math>
+다음과 같은 [[삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식]] 을 이용하자.
+:<math>\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}</math>
-<math>r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}</math> ■
+이를 이용하여, 다음을 얻을 수 있다
+:<math>\sin \frac{(h+1)\pi}{n}\sin \frac{(k+1)\pi}{n}=\sum_{j=0}^{k}\sin \frac{(h-k+2j+1)\pi}{n}\sin \frac{\pi}{n}</math>
+따라서
+:<math>r_h\times r_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}</math> ■
 ==대각선이 만족시키는 항등식 2==
+* $r_i$는 다음의 점화식을 만족한다
+:<math>r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq \ell-1</math>
+* 항등식 1을 이용하여 증명할 수 있다
+* 이는 제2종 [[체비셰프 다항식]]이 만족시키는 항등식 <math>U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)</math>과 같다
-* <math>r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq n-3</math><br>
-(증명)
-항등식 1을 이용.
+==양자미적분학==
-■
+* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] 에서 실수 n 의 q-analogue 로:<math>[n]_q =\frac{q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}} </math> 와 같은 표현을 사용하기도 함
+* <math>q=e^{i\theta}</math> 로 두면,:<math>[n]_q =\frac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}} =\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}</math> 를 얻는다
+*  정다각형의 대각선의 길이:<math>r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi  (i+1)}{n}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}</math> 와 유사한 표현을 얻는다
+* 이는 [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하여 quantum dimension을 정의할 때 등장하는 표현이다
+==예==
-==정사각형의 대각선==
+===정사각형의 대각선===
 * [[루트2는 무리수이다]]
 '''정사각형의 대각선의 길이'''
-한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 [[피타고라스의 정리]]를 이용하여 루트 2가 됨을 보일수 있다.  "[[루트2는 무리수이다|루트2는 무리수"]] 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다.
+한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 [[피타고라스의 정리]]를 이용하여 루트 2가 됨을 보일수 있다.  "[[루트2는 무리수이다|루트2는 무리수"]] 라는 이야기는 중고교수학에서 배우는 가장 멋진 사실의 하나라 할 수 있다.
-==정오각형의 대각선==
+===정오각형의 대각선===
 * [[정오각형]] 에서 가져옴
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 [[파일:3002548-180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]]
 <math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}</math>
 '''정오각형의 대각선의 길이'''
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 AC와 BD의 교점을 E라 하자.
 각의 이등분선의 성질에 의해,
 AB : AD = BE : DE 즉 <math>a : b = b-a : a</math> 가 성립한다.
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 <math>(\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0</math>■
 '''톨레미의 정리'''
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 [[파일:3324857-PtolemyQD.jpg]]
 '''정오각형의 대각선의 길이를 구하는 또다른 방법 - 톨레미의 정리의 응용'''
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 이로부터 <math>b^2 - ab - a^2 = 0</math>를 얻을 수도 있다.
+===정육각형의 대각선===
-==정육각형의 대각선==
 '''정육각형의 대각선의 길이'''
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 각 변의 길이가 1인 정육각형의 대각선의 길이는 <math>\sqrt{3}</math>과 2가 되는데, 이는 정삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다면 어렵지 않게 구할 수 있다.
-==정칠각형의 대각선==
+===정칠각형의 대각선===
 * [[정칠각형]]
 '''정칠각형의 대각선의 길이'''
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 와 같은 관계를 얻을 수 있다.
 이를 이용하면, 다음과 같은 사실들을 알 수 있다.
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 이제 3차 방정식을 풀면 된다.
-==양자미적분학==
-* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] 에서 실수 n 의 q-analogue 로:<math>[n]_q =\frac{q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}} </math> 와 같은 표현을 사용하기도 함<br>
-* <math>q=e^{i\theta}</math> 로 두면,:<math>[n]_q =\frac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}} =\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}</math> 를 얻는다<br>
-*  정다각형의 대각선의 길이:<math>r_i=\frac{\sin \left(\frac{\pi  (i+1)}{n}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}</math> 와 유사한 표현을 얻는다<br>
 ==역사==
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
@@ 201번째 줄: / 191번째 줄: @@
 * [[수학사 연표]]
 ==메모==
+* [http://bomber0.byus.net/index.php/2010/12/22/1862 정다각형의 대각선의 길이], 피타고라스의 창
-* [[사인곱]]
-* A. Fontaine and S. Hurley, [http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200610.pdf Proof by picture: Products and reciprocals of diagonal length ratios in the regular polygon], Forum Geom., 6 (2006) 97–101.
-* Lang, Wolfdieter. 2012. “The Field Q(2cos(pi/n)), Its Galois Group and Length Ratios in the Regular N-gon.” arXiv:1210.1018 (October 3). http://arxiv.org/abs/1210.1018.
-몇달전에 공부하는 과정에서 <math>r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}</math> 와 같은 점화식을 해결해야 한 적이 있었다. 후에 정다각형의 대각선의 길이가 똑같은 관계를 만족시킨다는 것을 알게 되어 재밌게 여긴 적이 있었다. 이를 기회로 하여 해보는 정다각형의 대각선 길이에 대한 이야기이다.
-'''정다각형의 대각선의 길이에 대한 일반적인 정리들'''
-한변의 길이가 1인 [[정다각형의 대각선의 길이|정n각형의 대각선의 길이]]는 아래 그림에서와 같이 순서대로  <math>r_0,r_1,\cdots, r_{n-2}</math> 로 나타내면,
-[[파일:6782509-heptagon.png]]
-사인 정리를 이용하여
-<math>r_i=\frac{\sin \frac{(i+1)\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}}</math> , <math>i=0,1,\cdots,n-2</math>
-가 됨을 보일 수 있다.
-이 사실을 이용하면 대각선의 길이가 여러가지 흥미로운 항등식을 만족시킨다는 것을 알 수 있다.
-<math>0\leq k\leq h<n/2</math>인 경우, <math>r_hr_k=r_{h-k}+r_{h-k+2}+\cdots+r_{h+k}</math>가 성립한다. 여기서 우변은 k+1개항의 합.
-리대수의 표현론을 공부해본 사람이라면, 비슷한 점을 발견할 수 있을 것이다.
-이 점화식을 이용하면, <math>r_i^2=1+r_{i-1}r_{i+1}, 1\leq i \leq n-3</math> 가 성립하는 것을 보일 수 있다.
-이는 제2종 [[체비셰프 다항식]]이 만족시키는 항등식 <math>U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)</math> 을 닮았다.
-이러한 현상들을 어떻게 이해하면 좋을까?
-* [http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200630.pdf Formulas among diagonals in the regular polygon and the Catalan numbers]
 * [http://www.math.rutgers.edu/%7Eerowland/polygons.html http://www.math.rutgers.edu/~erowland/polygons.html]
 * http://twistedone151.wordpress.com/2010/10/25/monday-math-140/
 * http://twistedone151.wordpress.com/2010/11/01/monday-math-141/
+==관련된 항목들==
+* [[사인곱]]
-==관련된 항목들==
+==관련논문==
+* A. Fontaine and S. Hurley, [http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200610.pdf Proof by picture: Products and reciprocals of diagonal length ratios in the regular polygon], Forum Geom., 6 (2006) 97–101.
+* Lang, Wolfdieter. 2012. “The Field Q(2cos(pi/n)), Its Galois Group and Length Ratios in the Regular N-gon.” arXiv:1210.1018 (October 3). http://arxiv.org/abs/1210.1018.
+* [http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200630.pdf Formulas among diagonals in the regular polygon and the Catalan numbers]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxWDN2enlhYXdTbTZ6UDB6VWtIOEFVUQ
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* http://functions.wolfram.com/
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
-* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
-* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]