"양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이
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:<math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math> | :<math>\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )</math> | ||
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:<math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math> | :<math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math> | ||
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:<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) </math> | :<math>\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) </math> | ||
* 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함 | * 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함 | ||
:<math>\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math> | :<math>\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})</math> | ||
* 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음 | * 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음 | ||
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\operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} | \operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} | ||
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-\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} | -\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} | ||
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* <math>q=e^{-t}</math> 이고 t가 0으로 갈 때, | * <math>q=e^{-t}</math> 이고 t가 0으로 갈 때, | ||
:<math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math> | :<math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math> | ||
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\operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots | \operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots | ||
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* Quantum dilogarithm, [http://wain.mi.ras.ru/indexrus.html Wadim Zudilin], Preprint, Bonn and Moscow (2006) | * Quantum dilogarithm, [http://wain.mi.ras.ru/indexrus.html Wadim Zudilin], Preprint, Bonn and Moscow (2006) | ||
* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784 The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm] R. M. Kashaev, 1996 | * [http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784 The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm] R. M. Kashaev, 1996 | ||
| − | * Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal | + | * Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal Volume 3, Number 2, 205-214, doi:[http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631 10.1023/A:1006949508631] |
* '''[BR1995]'''Bazhanov, V V, and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. <em>Journal of Physics A: Mathematical and General</em> 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:[http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 10.1088/0305-4470/28/8/014]. [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=48&mx-pid=1338071 MR1338071(96k:81087)] | * '''[BR1995]'''Bazhanov, V V, and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. <em>Journal of Physics A: Mathematical and General</em> 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:[http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/8/014 10.1088/0305-4470/28/8/014]. [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=48&mx-pid=1338071 MR1338071(96k:81087)] | ||
* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm] Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418 | * [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526 A link invariant from quantum dilogarithm] Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418 | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394003610 Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol] R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768 | + | * [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394003610 Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol] R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768 |
| − | * [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm] L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=52&mx-pid=1264393 MR1264393(95i:11150)] | + | * [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm] L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=52&mx-pid=1264393 MR1264393(95i:11150)] |
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2020년 11월 16일 (월) 04:05 판
개요
- 다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue
\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]
\[(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]
잭슨 적분과 양자 다이로그 함수
q-integral (Jackson integral)
- q-적분 참조
- \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
\[\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\]
- \(q\to 1\) 이면,
\[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]
양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)
\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]
- 잭슨 적분을 이용하여 \(\operatorname{Li}_{2,q}(z)\)를 다음과 같이 정의
\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) \]
- 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함
\[\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]
- 다음의 함수를 양자 다이로그 함수로 정의하는 경우도 있음
\[ \operatorname{Li}_{2}(x;q):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} \]
- 다음의 관계가 성립한다
\[ -\log \Psi(x) =\sum_{i=0}^{\infty}-\log(1-xq^i)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}q^{in}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(1-q^n)} \]
\(q\to 1\) 일 때의 근사식
- \(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,
\[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\sim(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\] \[ \operatorname{Li}_{2}(x;e^{-t})\sim \frac{\text{Li}_2(x)}{t}-\frac{1}{2} \log (1-x)-\frac{t x}{12 (x-1)}+\frac{t^3 x (x+1)}{720 (x-1)^3}-\frac{t^5 x \left(x^3+11 x^2+11 x+1\right)}{30240 (x-1)^5}+\cdots \]
q가 root of unity 일 때의 근사식
- [BR1995] section 3
양자 다이로그 항등식
역사
메모
- Notes on Construction of the Knot Invariant from Quantum Dilogarithm Function
- http://ncatlab.org/nlab/show/quantum+dilogarithm
- http://www.birs.ca/events/2010/5-day-workshops/10w5069/videos/watch/201009161744-Keller.mp4
관련된 항목들
- 5항 관계식 (5-term relation)
- 오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식
- q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)
- q-감마함수
- q-이항정리
- q-초기하급수의 근사식
- 양자 바일 대수와 양자평면
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰논문과 에세이
- R. M. Kashaev , Faddeev's quantum dilogarithm and 3-manifold invariants, Nov 2012
- 비디오
- Recordings from the workshop on quantum dilogarithms and quantum Teichmüller theory, Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces, 2010
관련논문
- Kashaev, Rinat, and Marcos Marino. “Operators from Mirror Curves and the Quantum Dilogarithm.” arXiv:1501.01014 [hep-Th, Physics:math-Ph], January 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.01014.
- Quantum dilogarithm, Wadim Zudilin, Preprint, Bonn and Moscow (2006)
- The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm R. M. Kashaev, 1996
- Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal Volume 3, Number 2, 205-214, doi:10.1023/A:1006949508631
- [BR1995]Bazhanov, V V, and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. Journal of Physics A: Mathematical and General 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:10.1088/0305-4470/28/8/014. MR1338071(96k:81087)
- A link invariant from quantum dilogarithm Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
- Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768
- Quantum Dilogarithm L.D.Fadeev and R.M.Kashaev, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 MR1264393(95i:11150)