중심이항계수 (central binomial coefficient)

개요

• 다음과 같은 이항계수로 정의

\[{2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2},\quad n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\]

• 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756,...
• \(n\geq 1\)일 때 짝수
• 동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률을 표현할 때 등장
• 아페리가 Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)를 증명하는데 활용됨

중심이항계수의 근사식

• http://planetmath.org/encyclopedia/AsymptoticsOfCentralBinomialCoefficient.html
• 드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기 피타고라스의 창, 2008-7-12

동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다. \[\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}\]

한편 월리스의 공식에서 일반항은 다음과 같은데,

\[p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\]

따라서

\[p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\]

이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다.

\[\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\] 그리고 이는 다음을 말해준다.

\[\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\]

멱급수와 중심이항계수

• 이항급수와 이항정리

\[\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n\]

• 역삼각함수

\[2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\] \[\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\] \[\frac{4 \left(\sqrt{4-z}+\sqrt{z} \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{z}}{2}\right)\right)}{(4-z)^{3/2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{ {{2n}\choose {n}}}\]

• 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 생성함수

\[G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{2n\choose n}x^n\]

중심이항계수가 나타나는 급수

• [Lehmer1985] 참조

정리

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\]

증명

\[\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\] 에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\) 를 얻는다. ■

정리

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\]

증명

\[2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\]에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\)를 얻는다.■

정리

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2\pi}{3}\operatorname{Cl}_ 2(\frac{\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\pi\operatorname{Cl}_ 2(\frac{2\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)\]

여기서 \(\operatorname{Cl}_ 2(\theta)\) 는 로바체프스키와 클라우센 함수, \(\psi^{(1)}\)는 트리감마 함수(trigamma function).

증명

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A145438

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx\]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(arcsin+x)^2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2

좌변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity

우변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta(3)/3%2Bpi*sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/18 ■

정리(Comtet의 공식)

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\]

증명은 ζ(4)와 중심이항계수을 참고

원주율의 유리수 근사와 중심이항계수

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067\)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^6*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity

일반적으로 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여,

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b\) , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다. [Lehmer1985] 참조

리만제타함수

\(\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)

메모

• Kalmykov, M. Yu., and O. Veretin. 2000. “Single-Scale Diagrams and Multiple Binomial Sums.” Physics Letters B 483 (1–3) (June 15): 315–323. doi:10.1016/S0370-2693(00)00574-8.
• http://math.stackexchange.com/questions/153504/the-fermat-prime-257-and-binomial-sum-sum-n-0-infty-frac-1n-binom-8
• http://mathoverflow.net/questions/98897/a-coincidence-concerning-fermat-primes-binomial-sums-and-eta-quotients
• http://tpiezas.wordpress.com/2012/06/03/fermat-primes-and-binomial-sums/
• http://www1.au.edu.tw/ox_view/edu/tojms/j_paper/Full_text/Vol-25/No-2/25%282 %297-2%28141-151%29.pdf
• [Lehmer1985]에는 다음과 같은 공식이 나오지만, 잘못된 것이다.

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\] 바른 공식은 다음과 같다. \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)\] 여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마(trigamma)함수. 트리감마 함수(trigamma function)항목 참조

관련된 항목들

• 카탈란 수열(Catalan numbers)
• Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)
• 폴리로그 함수(polylogarithm)
• 이항급수와 이항정리
• 정규분포와 그 확률밀도함수
• 중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSDhxWm9WQnZpV3c/edit
• http://oeis.org/A000984

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Central_binomial_coefficient
• http://math world.wolfram.com/CentralBinomialCoefficient.html
• http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html
• http://planetmath.org/GeneratingFunctionForTheReciprocalCentralBinomialCoefficients.html

관련논문

• Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929.
• Renzo Sprugnoli, Sum of reciprocals of the Central Binomial Coefficients, Integers: electronic journal of combinatorial number theory, 6 (2006) A27, 1-18
• Bailey, David H., Jonathan M. Borwein, and David M. Bradley. 2005. “Experimental Determination of Apery-Like Identities for Zeta(2n+2).” Lawrence Berkeley National Laboratory (May 11). http://escholarship.org/uc/item/7wd7j9nz.
• Borwein, Jonathan M., and Roland Girgensohn. 2005. “Evaluations of Binomial Series.” Aequationes Mathematicae 70 (1-2) (September 1): 25–36. doi:10.1007/s00010-005-2774-x.
• Borwein, J. M., D. J. Broadhurst, and J. Kamnitzer. 2000. “Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values.” arXiv:hep-th/0004153 (April 22). http://arxiv.org/abs/hep-th/0004153.
• [Lehmer1985] Lehmer, D. H. 1985. “Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient.” The American Mathematical Monthly 92 (7) (August): 449. doi:10.2307/2322496.
• Zucker, I. J. 1985. “On the Series \(\sum_{k=1}^{\infty}\binom{2n}{n}^{-1}k^{−n}\) and Related Sums.” Journal of Number Theory 20 (1) (February): 92–102. doi:10.1016/0022-314X(85)90019-8.
• A.J. Van der Poorten. Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms, Queen's papers in Pure and Applied Mathematics, 54 (1979), 269-286

관련도서

• http://books.google.co.kr/books?id=C0HPgWhEssYC