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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
  
 
* [[갈루아 이론]]
 
* [[갈루아 이론]]
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요==
  
 
* [[군론(group theory)|군론]]을 통한 [[체론(field theory)]]의 이해
 
* [[군론(group theory)|군론]]을 통한 [[체론(field theory)]]의 이해
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">근의 공식[[2차 방정식의 근의 공식|2차 방정식의 근의 공식]]</h5>
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* [[정오각형]] 항목 중 [[3002548#toc 4|꼭지점의 평면좌표]]에는 어떻게 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>을 풀 수 있는지가 설명되어 있음<br>
 
* [[정오각형]] 항목 중 [[3002548#toc 4|꼭지점의 평면좌표]]에는 어떻게 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>을 풀 수 있는지가 설명되어 있음<br>
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*  일반적으로 [[대칭군 (symmetric group)]]의 부분군을 치환군이라 부른다<br>
 
*  일반적으로 [[대칭군 (symmetric group)]]의 부분군을 치환군이라 부른다<br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">다항식과 갈루아체확장</h5>
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*  (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음<br>
 
*  (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음<br>
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*  체 <math>F</math>와 그 체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>을 정의할 수 있음<br>
 
*  체 <math>F</math>와 그 체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>을 정의할 수 있음<br>
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* <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}</math>의 경우 <math>\sigma</math>는  복소수체의 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 변화시키지 않음.<br>
 
* <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}</math>의 경우 <math>\sigma</math>는  복소수체의 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 변화시키지 않음.<br>
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*  위에서 본 유리수체<math>\mathbb{Q}</math>의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math><br>
 
*  위에서 본 유리수체<math>\mathbb{Q}</math>의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math><br>
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* transitivity와 fixed point free action 또는 <math>\text{Gal}(K/F)=|K:F|</math>
 
* transitivity와 fixed point free action 또는 <math>\text{Gal}(K/F)=|K:F|</math>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">5차방정식에의 응용</h5>
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<math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math> is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.
 
<math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math> is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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==메모</h5>
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==메모==
  
 
* http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html
 
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==관련된 항목들</h5>
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==관련된 항목들==
  
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역==
  
 
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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==사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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==관련논문</h5>
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==관련논문==
  
 
* [http://www.mathpages.com/HOME/kmath485.htm Determining the Galois Group of a Polynomial]
 
* [http://www.mathpages.com/HOME/kmath485.htm Determining the Galois Group of a Polynomial]
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">교양도서</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">교양도서==
  
 
* [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140820&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 1], [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140824&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 2]<br>
 
* [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140820&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 1], [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140824&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 2]<br>
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==관련도서</h5>
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==관련도서==
  
 
* [http://books.google.com/books?id=NeKmqSRE0V0C Classical Galois theory: with examples]<br>
 
* [http://books.google.com/books?id=NeKmqSRE0V0C Classical Galois theory: with examples]<br>
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==관련기사</h5>
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==관련기사==
  
 
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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==블로그</h5>
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==블로그==
  
 
*  구글 블로그 검색<br>
 
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2012년 11월 1일 (목) 10:32 판

이 항목의 스프링노트 원문주소==    
개요==
  • 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
  • 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
  • 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
  • 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
  • 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음
   
근의 공식2차 방정식의 근의 공식==    
풀수 있는 방정식==
  • 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표에는 어떻게 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
  • 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
    • 이를 위하여 \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
    • 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.
   
근의 치환==    
다항식과 갈루아체확장==
  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
  • 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
  • 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨
   
체확장과 갈루아군==
  • 체 \(F\)와 그 체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)을 정의할 수 있음
    • \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
    • 자기동형사상이란 \(K\)에서 \(K\)에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
  • 예) 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장
    • 방정식 \(x^2+1=0\) 의 해\(\{i,-i\}\)를 실수체 \(\mathbb{R}\)에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \(\mathbb{C}\) 를 만듦
    • \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\) 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 \(z\)에 대하여 \(\operatorname{id}(z)=z\)과 \(\sigma(z)=\bar{z}\)로 정의됨
    • \(\sigma(z)=\bar{z}\) 이므로 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다
     
방정식의 해가 가진 대칭성==
  • \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}\)의 경우 \(\sigma\)는  복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
    • \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
  • 이것을 일반화할 수 있음
      (정리)   주어진 체 \(F\)에 대하여, \(F\)의 원소들로 계수가 구성된 기약인 방정식 \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\)의 해이면,  위에서처럼 해\(\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n\)를 모두추가하여 만든 체확장 \(K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)의 갈루아군 \(\text{Gal}(K/F)\) 의 원소 \(\sigma\)에 대하여 \(\sigma(\alpha)\) 도 같은 방정식의 해가 된다.    
예==
  • 위에서 본 유리수체\(\mathbb{Q}\)의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)
  • 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\)를 어디로 보내는가에 따라 결정
  • \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 는 유리계수방정식 \(x^3-2=0\)의 해이고, \(\omega\)와 \(\omega^2\)는  유리계수방정식 \(x^2+x+1=0\)의 해이기 때문
  \(\operatorname{id}\) \(\tau\) \(\tau^2\) \(\sigma\) \(\sigma\tau\) \(\sigma\tau^2\)
\(\sqrt[3]{2}\) \(\sqrt[3]{2}\) \(\omega\sqrt[3]{2}\) \(\omega^2\sqrt[3]{2}\) \(\sqrt[3]{2}\) \(\omega^2\sqrt[3]{2}\) \(\omega\sqrt[3]{2}\)
\(\omega\) \(\omega\) \(\omega\) \(\omega\) \(\omega^2\) \(\omega^2\) \(\omega^2\)
  • \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 가 같이 움직이고,\(\omega\)와 \(\omega^2\)가 같이 움직임을 볼 수 있음
  • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\)이 됨
  • 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재
  • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다
    • 표를 이용하면 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\) 임을 알 수 있음
    • \(\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}\)이고, \(\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2\) 이므로  \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\)
    • 따라서 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\) 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
    • 그러므로 \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3\)
  • 요약
    • 방정식 \(x^3-2=0\) 으로부터 체확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)을 얻었고, \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 를 얻었음
    • \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 의 원소들이 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\) 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.

 

 

갈루아 체확장==    
5차방정식에의 응용== \(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals. It has two complex and 3 real roots. This implies the Galois group is \(S_5\).      

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역==    

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

교양도서==    

관련도서

 

 

관련기사

 

 

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