유리계수 이차형식

개요

• 유리수체 위에서의 대칭 겹선형 형식과 이차형식 이론
• 유리계수 이차형식에 대해서는 국소-대역(local-global) 원리가 작동
• 등방형식의 판정
• 하세-민코프스키(Hasse-Minkowski) 정리

등방형식

• 다음의 예에 대해서는 정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)의 지식이 도움이 된다

예1

• \(f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-11 z^2\)는 등방형식이다. 예를 들어 \(f(1,2,1)=0\)

예2

• \(f(x,y,z)=3 x^2+2 y^2-7 z^2\)는 비등방형식이다. \(f(x,y,z)=0\)을 만족하는 비자명한 \((x,y,z)\in \mathbb{Q}^3\)는 존재하지 않는다

동치관계

예1

• \(f=x^2-15 y^2\)와 \(g=3 x^2-5 y^2\)는 유리수체 위에서 동치관계에 있지 않다
• 1을 표현할 수 있는지의 여부로 판단가능
• \(f\)와 \(g\)는 \(\mathbb{Q}_2\) 또는 \(\mathbb{Q}_5\)에서 동치관계에 있지 않다
• 이는 하세-민코프스키 불변량을 이용하여 확인할 수 있다

\[ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} \]

예2

• \(f=x^2-82 y^2\)와 \(g=2 x^2-41 y^2\)는 유리수체 위에서 동치관계에 있다
• 이차형식에 대응되는 대각행렬 \(Q_f,Q_g\)를 다음과 같이 쓰자

\[ Q_f=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -82 \end{array} \right) , \quad Q_g=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -41 \end{array} \right) \]

• 다음이 성립한다

\[ P^{T}Q_fP=Q_g \] 여기서 \[ P=\left( \begin{array}{cc} \frac{10}{3} & -\frac{41}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{array} \right). \]

• 하세-민코프스키 불변량

\[ \begin{array}{c|cc} p & c_p(f)& c_p(g) \\ \hline \infty & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \end{array} \]

관련된 항목들

• 힐베르트 부호

수학용어번역

• Hasse - 발음사전 Forvo

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQzVoUGtYRGlqWFE/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Hasse_principle
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hasse-Minkowski_theorem

관련도서

• Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
  • 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함

관련논문

• Tamotsu Ikeda, Hidenori Katsurada, On the Gross-Keating invariant of a quadratic form over a non-archimedean local field, arXiv:1504.07330 [math.NT], April 28 2015, http://arxiv.org/abs/1504.07330

메타데이터

위키데이터

• ID : Q2115578

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'hasse'}, {'LEMMA': 'principle'}]
• [{'LOWER': 'local'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'global'}, {'LEMMA': 'principle'}]