3차원 유한회전군의 분류

개요

• SO(3) = 2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
  • 3차원 공간의 회전과 SO(3) 항목 참조
• SO(3)의 유한부분군의 분류는 다음과 같이 주어짐
  • 순환군 \(C_n\)
  • 정이면체군(dihedral group) \(D_n\)
  • 정사면체의 대칭군 \(T\) , A4
  • 정팔면체(정육면체)의 대칭군 \(O\) S4
  • 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 \(I\) 교대군 A5

SU(2)의 유한부분군

• binary polyhedral groups
• binary Tetrahedral groups
  • \(\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}\)
  • group of order 24

분류 정리의 증명

\(\Gamma\) 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.

각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.

각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 \(v_p\geq 2\)인 순환군이 된다.

\(\Gamma\)에 의한 p의 궤도의 집합을 \(C_p\)라 하면, \(|C_p|=\frac{n}{v_p}\)가 된다.

이제 집합 \(S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}\) 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.

1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, \(|S|=2(n-1)\)

2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 \(v_p-1\) 이므로, \(|S|=\sum_{p}(v_p-1)\)

극점들을 움직이는 \(\Gamma\)에 의한 궤도 \(C\)의 크기를 \(n_{C}\)라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다 : \[2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)\] 여기서 \(v_C\)는 궤도 \(C\)의 원소 \(p\)에 대하여 \(v_p\)를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.

위 식의 양변을 \(n\)으로 나누면, 다음의 디오판투스 방정식을 얻는다: \[2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})\label{dioph}\]

\(n\geq 2\) 이고, \(1\leq 2-\frac{2}{n}< 2\), \(\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1\) 이므로, 총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.

• 번사이드 보조정리를 이용하여 \ref{dioph}를 얻을 수도 있다

궤도가 2개인 경우

• \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다

\[\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2\]

따라서 \(n_1=n_2=1\) 을 얻고, 이 경우 \(\Gamma\)는 크기가 n인 순환군이다.

궤도가 3개인 경우

• \ref{dioph}는 다음과 같이 쓰여진다

\[1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}\] 해는 다음과 같다 \[(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{n}{2}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)\] 각각의 경우는 정이면체군, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군에 해당한다

관련된 항목들

• 해밀턴의 사원수

관련도서

• Hermann Weyl, Appendix, Symmetry
  • Weyl_on_platonic_solids.pdf

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_polyhedral_group#Binary_polyhedral_groups
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_cyclic_group
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_dihedral_group
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_tetrahedral_group
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_octahedral_group
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_icosahedral_group

관련논문

• Bakry, Dominique, and Xavier Bressaud. ‘Diffusions with Polynomial Eigenvectors via Finite Subgroups of O(3)’. arXiv:1507.01394 [math], 6 July 2015. http://arxiv.org/abs/1507.01394.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q7208207

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'point'}, {'LOWER': 'groups'}, {'LOWER': 'in'}, {'LOWER': 'three'}, {'LEMMA': 'dimension'}]