"그린 정리"의 두 판 사이의 차이

2012년 9월 8일 (토) 13:37 판

개요

스토크스 정리의 특수한 경우
\(\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, {d}A=\oint_{\partial D} (P\, {d}x + Q\, {d}y)\)

폐곡선에 둘러싸인 영역의 넓이

폐곡선 C에 둘러싸인 영역의 넓이는 다음 공식으로 주어진다 \[A=\oint_{C} x dy = \oint_{C} - y dx =\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx\]

증명

면적은 \(A= \iint_{D} 1 \, {d}A\)으로 주어지므로, 그린 정리를 이용하여 다음 각각의 경우 \(P,Q\) 가 \(\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)=1\)을 만족함을 보이면 된다.

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 ===증명===
-면적은 <math>A= \iint_{D} 1 \, {d}A</math>으로 주어지므로, 그린 정리를 이용하여 위에 주어진 함수 <math>P,Q</math> 들이 <math>\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)=1</math>을 만족함을 보이면 된다.
+면적은 <math>A= \iint_{D} 1 \, {d}A</math>으로 주어지므로, 그린 정리를 이용하여 다음 각각의 경우 <math>P,Q</math> 가 <math>\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)=1</math>을 만족함을 보이면 된다.
+*<math>P=0,Q=x</math>
+*<math>P=-y,Q=0</math>
+*<math>P=-y/2,Q=x/2</math>
 ==역사==

"그린 정리"의 두 판 사이의 차이

2012년 9월 8일 (토) 13:37 판

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