"드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형"의 두 판 사이의 차이

2010년 12월 23일 (목) 18:12 판

(정리) 드 무아브르

\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta\)

여기서 \(\theta\) 는 임의의 실수, \(n\) 은 임의의 정수

\((\cos \theta+ i\sin \theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}= \cos n\theta+ i\sin n\theta\)

\(z^n=1\) 를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.
방정식을 풀기 위해, \(z=\cos \theta + i \sin \theta\) 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.
\((\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1\)
\(\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1\)
\(z^3=1\) 의 해는, \(1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\) 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.
[/pages/3002568/attachments/1344206 img602.gif]

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+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+* [[드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형]]
 <h5>간단한 소개</h5>
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 * [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]]
-* 복소지수함수
+* 복소지수함수 <math>e^{i\theta}=\cos \theta+ i\sin \theta</math>  의 성질에서 자연스럽게 유도
-<math>e^{ix}=\cos x+ i\sin x</math>
+<math>(\cos \theta+ i\sin \theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}= \cos n\theta+ i\sin n\theta</math>